数据结构与算法——优先队列类的C++实现(二叉堆)

优先队列简介：

操作系统表明上看着是支持多个应用程序同时运行，事实上是每个时刻只能有一个进程运行，操作系统会调度不同的进程去运行。每个进程都只能运行一个固定的时间，当超过了该时间，操作系统就会暂停当前运行的进程，去调度其它进程来执行。

实现这种进程调度的一种方法是使用队列。开始的时候进程被放在队列的末尾，调度程序将反复提取队列中的第一个进程来执行，直到运行完毕或时间片用完，若进程没有运行完毕则将该进程放入队列的末尾。这种策略不是特别合适，因为可能一些短的进程需要等待很长的时间才能轮流到。一般来说，运行时间短的进程需要尽快的结束。所以那些运行时间短的进程需要比较高的优先权，同样，那些比较重要的进程也需要比较高的优先权。

这种特殊的应用需要一种特殊的队列-----优先队列。可以用二叉堆实现优先队列。

二叉堆简介：

二叉堆与二叉查找树类似，二叉树有两个性质：结构性质和堆序性质。

结构性质：

二叉堆是一棵完全二叉树，除了子节点外的其它节点都有两个儿子节点。

一棵高为h的完全二叉树有2^h到2^(h+1) - 1个节点。完全二叉树的高为log(N)，N为节点数目。

由于完全二叉树的特点，实现起来很简单，用简单的数组就可以实现。对于数组中的任意位置i上的元素，其左儿子在位置2*i上，右儿子在(2*i)+1上，其父节点在i/2上（让根节点在位置1）；

下面是一棵完全二叉树的数组实现图示：

堆序性质：

因为如果想快速找到最小单元，则最小单元应该在根上。在堆中，对于每一个节点x,x的值大于等于子节点（叶子节点除外）；没有二叉查找树的要求严格。

二叉堆的数据结构实现：

用一个数组 vector<Comparable> v;来存储所有的元素。

用currentSize来记录当前元素的数目。

vector<Comparable> array;//存储二叉堆的节点
int currentSize;//当前二叉堆中的节点数目

二叉堆的主要成员函数：

bool isEmpty() const;//判断二叉堆是否为空
const Comparable & findMin() const;//查找最小元素

void insert(const Comparable & x);//插入元素x
void deleteMin();//删除最小元素
void deleteMin(Comparable & minItem);//删除最小元素，并以引用的方式返回该最小元素
void makeEmpty();//清空该二叉堆
void print() const;//打印该堆元素

void buildHeap();//将元素移动到合适的位置
void percolateDown(int hole);//下移动

二叉堆的主要成员函数介绍：

1、插入insert()：

比如：当插入14的时候，第一步在堆的下一个可用的位置建立空穴，如果在该空穴插入14后满足堆序性，则插入成功。

但当在该空穴插入14之后不满足堆序性，则将该空穴的父节点移入空穴，之前的父节点的位置变为了空穴。

然后再尝试插入该新的空穴，如果不满足堆序，则重复之前的操作。

/****************************************************************
*   函数名称：insert(const Comparable & x)
*   功能描述: 删除最小元素
*   参数列表: 无
*   返回结果：void
*****************************************************************/
template<typename Comparable>
void BinaryHeap<Comparable>::insert(const Comparable & x)
{
if(currentSize == array.size()-1)
array.resize(2 * array.size());//扩大堆中数组的容量

//获得空穴的位置
int hole = ++currentSize;

//上滤
for(; hole > 1 && x < array[hole/2]; hole /= 2)
array[hole] = array[hole/2];
//将x插入到合适的位置
array[hole] = x;
}

2、删除最小元素deleteMin()：

将堆中最小的一个元素删除之后（最下的元素位于堆数组的最前面），必须将堆中最后一个元素x移动到堆中的某个合适的位置。.

比如:在下图中删除最小元素的操作。

删除最小元素13，将最后一个元素31移动到13的位置；31比13的两个孩子的值都大，所有将两个孩子值比较小的上移动。所以将14上移动。然后31再和14的两个孩子的值比较，直到31比空穴的两个孩子的值都小，或者是空穴到了叶子节点，则直接将31插入到空穴。

/****************************************************************
*   函数名称：deleteMin()
*   功能描述: 删除最小元素
*   参数列表: 无
*   返回结果：void
*****************************************************************/
template<typename Comparable>
void BinaryHeap<Comparable>::deleteMin()
{
if(isEmpty()){
cout << "BinaryHeap is empty." << endl;
return;
}

array[1] = array[currentSize];//将最后一个元素移动到最小元素的位置
currentSize--;//元素总数减去1
//将最后一个元素移动到合适的位置
percolateDown(1);
}

/****************************************************************
*   函数名称：percolateDown(int hole)
*   功能描述: 将array(hole)处的值向下移动
*   参数列表: hole为堆中元素的位置标号
*   返回结果：void
*****************************************************************/
template<typename Comparable>
void BinaryHeap<Comparable>::percolateDown(int hole)
{
int child;
//先保存array[hole]的值
Comparable temp = array[hole];

for(; hole * 2 <= currentSize; hole = child){
child = hole * 2;

//child != currentSize,表明此时空穴有右儿子
//array[child] > array[child+1] 表明此时空穴有右儿子小于左儿子
if(child != currentSize && array[child] > array[child+1])
child++;//此时child表示为空穴的右儿子

//空穴的右儿子小于array[hole]
if(array[child] < temp)
array[hole] = array[child];
else
break;
}

array[hole] = temp;
}

下面是main函数，主要是对散列表类进行测试。

//测试主函数
int main()
{
srand(unsigned(time(0)));
BinaryHeap<int> binaryHeap;

vector<int> v;

for(int i = 0; i < 10; ++i)
v.push_back(rand() % 10);
cout << "v: ";
for(int i = 0; i < 10; ++i)
cout << v[i] << " ";
cout << endl;

for(int i = 0; i < 10; ++i)
binaryHeap.insert(v[i]);

binaryHeap.print();

for(int i = 0; i < 12; i++){
int minVal = 0;
binaryHeap.deleteMin(minVal);
cout << "删除最小元素："  << minVal << endl;
binaryHeap.print();
}

cout << "*****************************************" << endl;
cout << "测试第二个构造函数: " << endl;
BinaryHeap<int> binaryHeap2(v);
binaryHeap2.print();

for(int i = 0; i < 12; i++){
int minVal = 0;
binaryHeap2.deleteMin(minVal);
cout << "删除最小元素："  << minVal << endl;
binaryHeap2.print();
}

return 0;
}

下面是二叉堆类的源代码：

/*************************************************************************
> File Name: binaryHeap.cpp
> Author:
> Mail:
> Created Time: 2016年04月14日 星期四 11时37分43秒
************************************************************************/

#include <iostream>
#include <vector>
#include <time.h>
#include <stdlib.h>
using namespace std;

/******************************************
*   类的名称：二叉堆
******************************************/

template<typename Comparable>
class BinaryHeap
{
public:
explicit BinaryHeap(int capacity = 100):array(capacity), currentSize(0){}
explicit BinaryHeap(const vector<Comparable> & items);

bool isEmpty() const;//判断二叉堆是否为空
const Comparable & findMin() const;//查找最小元素

void insert(const Comparable & x);//插入元素x
void deleteMin();//删除最小元素
void deleteMin(Comparable & minItem);//删除最小元素，并以引用的方式返回该最小元素
void makeEmpty();//清空该二叉堆
void print() const;//打印该堆元素

private:
vector<Comparable> array;//存储二叉堆的节点
int currentSize;//当前二叉堆中的节点数目
private:
void buildHeap();//将元素移动到合适的位置
void percolateDown(int hole);//下移动
};

/****************************************************************
*   函数名称：print() const
*   功能描述: 打印该堆元素
*   参数列表: 无
*   返回结果：无
*****************************************************************/
template<typename Comparable>
void BinaryHeap<Comparable>::print() const
{
cout << "二叉堆的元素: " << endl;
for(int i = 1; i <= currentSize; ++i)
cout << array[i] << " ";
cout << endl;
}

/****************************************************************
*   函数名称：BinaryHeap(const vector<Comparable> & items)
*   功能描述: 构造函数
*   参数列表: items 是构造二叉堆需要的数据
*   返回结果：无
*****************************************************************/
template<typename Comparable>
BinaryHeap<Comparable>::BinaryHeap(const vector<Comparable> & items):array(items.size()+10), currentSize(items.size())
{
for(unsigned i = 0; i < items.size(); ++i)
array[i+1] = items[i];

buildHeap();
}
/****************************************************************
*   函数名称：buildHeap()
*   功能描述: 将元素移动到合适的位置，满足堆序
*   参数列表: 无
*   返回结果：void
*****************************************************************/
template<typename Comparable>
void BinaryHeap<Comparable>::buildHeap()
{
for(int i = currentSize / 2; i > 0; --i)
percolateDown(i);
}

/****************************************************************
*   函数名称：findMin()
*   功能描述: 查找最小元素
*   参数列表: 无
*   返回结果：返回最小元素的引用
*****************************************************************/
template<typename Comparable>
const Comparable & BinaryHeap<Comparable>::findMin() const
{
return array[1];
}

/****************************************************************
*   函数名称：insert(const Comparable & x)
*   功能描述: 删除最小元素
*   参数列表: 无
*   返回结果：void
*****************************************************************/
template<typename Comparable>
void BinaryHeap<Comparable>::insert(const Comparable & x)
{
if(currentSize == array.size()-1)
array.resize(2 * array.size());//扩大堆中数组的容量

//获得空穴的位置
int hole = ++currentSize;

//上滤
for(; hole > 1 && x < array[hole/2]; hole /= 2)
array[hole] = array[hole/2];
//将x插入到合适的位置
array[hole] = x;
}

/****************************************************************
*   函数名称：deleteMin()
*   功能描述: 删除最小元素
*   参数列表: 无
*   返回结果：void
*****************************************************************/
template<typename Comparable>
void BinaryHeap<Comparable>::deleteMin()
{
if(isEmpty()){
cout << "BinaryHeap is empty." << endl;
return;
}

array[1] = array[currentSize];//将最后一个元素移动到最小元素的位置
currentSize--;//元素总数减去1
//将最后一个元素移动到合适的位置
percolateDown(1);
}

/****************************************************************
*   函数名称：percolateDown(int hole)
*   功能描述: 将array(hole)处的值向下移动
*   参数列表: hole为堆中元素的位置标号
*   返回结果：void
*****************************************************************/
template<typename Comparable>
void BinaryHeap<Comparable>::percolateDown(int hole)
{
int child;
//先保存array[hole]的值
Comparable temp = array[hole];

for(; hole * 2 <= currentSize; hole = child){
child = hole * 2;

//child != currentSize,表明此时空穴有右儿子
//array[child] > array[child+1] 表明此时空穴有右儿子小于左儿子
if(child != currentSize && array[child] > array[child+1])
child++;//此时child表示为空穴的右儿子

//空穴的右儿子小于array[hole]
if(array[child] < temp)
array[hole] = array[child];
else
break;
}

array[hole] = temp;
}
/****************************************************************
*   函数名称：deleteMin(Comparable & minItem)
*   功能描述: 删除最小元素
*   参数列表: minItem 将最小元素赋值给引用minItem
*   返回结果：void
*****************************************************************/
template<typename Comparable>
void BinaryHeap<Comparable>::deleteMin(Comparable & minItem)
{
if(isEmpty()){
cout << "binaryHeap is empty." << endl;
return;
}

minItem = array[1];

array[1] = array[currentSize--];
percolateDown(1);
}

/****************************************************************
*   函数名称：makeEmpty()
*   功能描述: 情况二叉堆
*   参数列表: 无
*   返回结果：void
*****************************************************************/
template<typename Comparable>
void BinaryHeap<Comparable>::makeEmpty()
{
currentSize = 0;
}

/****************************************************************
*   函数名称：isEmpty()
*   功能描述: 判断二叉堆是否为空
*   参数列表: 无
*   返回结果：如果为空，则返回true，否则返回false
*****************************************************************/
template<typename Comparable>
bool BinaryHeap<Comparable>::isEmpty() const
{
return currentSize == 0;
}

//测试主函数
int main()
{
srand(unsigned(time(0)));
BinaryHeap<int> binaryHeap;

vector<int> v;

for(int i = 0; i < 10; ++i)
v.push_back(rand() % 10);
cout << "v: ";
for(int i = 0; i < 10; ++i)
cout << v[i] << " ";
cout << endl;

for(int i = 0; i < 10; ++i)
binaryHeap.insert(v[i]);

binaryHeap.print();

for(int i = 0; i < 12; i++){
int minVal = 0;
binaryHeap.deleteMin(minVal);
cout << "删除最小元素："  << minVal << endl;
binaryHeap.print();
}

cout << "*****************************************" << endl;
cout << "测试第二个构造函数: " << endl;
BinaryHeap<int> binaryHeap2(v);
binaryHeap2.print();

for(int i = 0; i < 12; i++){
int minVal = 0;
binaryHeap2.deleteMin(minVal);
cout << "删除最小元素："  << minVal << endl;
binaryHeap2.print();
}

return 0;
}

下面是程序的运行结果：

v: 5 3 8 4 3 6 1 5 4 5
二叉堆的元素:
1 3 3 4 4 8 6 5 5 5
删除最小元素：1
二叉堆的元素:
3 4 3 5 4 8 6 5 5
删除最小元素：3
二叉堆的元素:
3 4 5 5 4 8 6 5
删除最小元素：3
二叉堆的元素:
4 4 5 5 5 8 6
删除最小元素：4
二叉堆的元素:
4 5 5 6 5 8
删除最小元素：4
二叉堆的元素:
5 5 5 6 8
删除最小元素：5
二叉堆的元素:
5 6 5 8
删除最小元素：5
二叉堆的元素:
5 6 8
删除最小元素：5
二叉堆的元素:
6 8
删除最小元素：6
二叉堆的元素:
8
删除最小元素：8
二叉堆的元素:

binaryHeap is empty.
删除最小元素：0
二叉堆的元素:

binaryHeap is empty.
删除最小元素：0
二叉堆的元素:

*****************************************
测试第二个构造函数:
二叉堆的元素:
1 3 5 4 3 6 8 5 4 5
删除最小元素：1
二叉堆的元素:
3 3 5 4 5 6 8 5 4
删除最小元素：3
二叉堆的元素:
3 4 5 4 5 6 8 5
删除最小元素：3
二叉堆的元素:
4 4 5 5 5 6 8
删除最小元素：4
二叉堆的元素:
4 5 5 8 5 6
删除最小元素：4
二叉堆的元素:
5 5 5 8 6
删除最小元素：5
二叉堆的元素:
5 6 5 8
删除最小元素：5
二叉堆的元素:
5 6 8
删除最小元素：5
二叉堆的元素:
6 8
删除最小元素：6
二叉堆的元素:
8
删除最小元素：8
二叉堆的元素:

binaryHeap is empty.
删除最小元素：0
二叉堆的元素:

binaryHeap is empty.
删除最小元素：0
二叉堆的元素: