nyoj 整数划分（一）（二）

先来谈谈写这两道题的感受，整数划分（一）刚开始做这道题，dp和递归都不会写，是用深搜写的，不过用深搜写

整数划分（二）就不行了，铁定超时。

昨晚和今晚终于把这两道题的递归和dp全看懂了（看别人博客-_-|||），在这儿重述一下，别人的博客都写得不是太

明白，看了好几遍看不懂，自己又手推好几遍，终于懂了。

先说整数划分（二）

题目：把一个正整数m分成n个正整数的和，有多少种分法？

1.递归，比如将7划分为3个正整数的和，肯定是1,1,5 1,2,4 ，1,3,3, 2,2,3；

这里分成两部分，一部分是包含1，即1,1,5， 1,2,4 1,3,3里面都有1，因此可以划分成1,5, 2,4 3,3(把1除掉) 另一

部分是不包含1，即2,2,3 ，可以将2,2,3分别减去1，即1,1,2，因此递归式就出来了，

digui(7,3)=digui(6,2)+digui(4,3);

即digui(m,n)=digui(m-1,n-1)+digui(m-n,n);

考虑到若n=1，或者m=n，肯定为1,同时若m<n，肯定不存在，故if(n==1||m==n) return 1; if(m<n) return 0;

因此代码:

01.

#include<stdio.h>

02.

#include<string.h>

03.

int

digui(

int

m

,

int

n

)

04.

{

05.

if

(n==1||n==m)

06.

return

1;

07.

else

if

(m<n)

08.

return

0;

09.

else

10.

return

(digui(m-1,n-1)+digui(m-n,n));

11.

}

12.

int

main()

13.

{

14.

int

N,n,m;

15.

scanf

(

"%d"

,&N);

16.

while

(N--)

17.

{

18.

scanf

(

"%d%d"

,&m,&n);

19.

printf

(

"%d\n"

,digui(m,n));

20.

}

21.

}

2.dp，考虑到digui(m,n)=digui(m-1,n-1)+digui(m-n,n);

可以开一个二维数组，用来存对应的digui的值，即两层for循环，a[i][j]=a[i-1][j-1]+a[i-j][j];

代码：

01.

#include<stdio.h>

02.

#include<string.h>

03.

int

a[101][101];

04.

int

main()

05.

{

06.

int

i,N,j,n,m;

07.

memset

(a,0,

sizeof

(a));

08.

a[1][1]=1;

09.

for

(i=2;i<=100;i++)

10.

for

(j=1;j<=i;j++)

11.

a[i][j]=a[i-j][j]+a[i-1][j-1];

12.

scanf

(

"%d"

,&N);

13.

while

(N--)

14.

{

15.

scanf

(

"%d%d"

,&n,&m);

16.

printf

(

"%d\n"

,a
[m]);

17.

}

18.

}

接着整数划分（一）

1.递归：

digui函数里设置两个形参，digui(int n,int m)代表整数n划分成最大为m的划分个数。

同样举一个栗子，比如样例6,即6刚开始的划分情况中最大数为6，digui（6,6），

6；

5+1；

4+2，4+1+1；

3+3，3+2+1，3+1+1+1；

2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1；

1+1+1+1+1+1。

这里digui(6,6)=digui(6,5)+1;

当n=m时，n的划分情况中，m肯定只有一种情况，所以若n=m return
1+gidui(n,m-1);

当n==1||m==1的时候，结果肯定是1；

当n>m时，digui(n,m)=digui(n-m,m)+digui(n,m-1); //比如（6,3）时，对应的应该是3+3，3+2+1，3+1+1+1；

和2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1； 1+1+1+1+1+1。
而digui（6-3,3）对应的刚好是3,2+1,1+1+1，而

digui（6，2）对应的刚好是2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1； 1+1+1+1+1+1。因此n>m时digui(n,m)=digui(n

-m,m)+digui(n,m-1);

当n<m时，digui(n,m)=digui(n,n);比如digui(6,4)=digui(2,4)+digui(6,3);这时的digui(2,4)应该对应4+2，4+1+1，

即2,1+1；故为digui(2,2);

因此：

01.

#include<stdio.h>

02.

int

digui(

int

n,

int

m)

03.

{

04.

if

(n==1||m==1)

05.

return

1;

06.

if

(n<m)

07.

return

digui(n,n);

08.

if

(n==m)

09.

return

1+digui(n,m-1);

10.

if

(n>m)

11.

return

digui(n,m-1)+digui(n-m,m);

12.

}

13.

int

main()

14.

{

15.

int

N,n;

16.

scanf

(

"%d"

,&N);

17.

while

(N--)

18.

{

19.

scanf

(

"%d"

,&n);

20.

printf

(

"%d\n"

,digui(n,n));

21.

}

22.

}

2.dp

找关系找了好久，终于搞明白了，dp可以开二维然后类似整数划分（二）将n划分成一份，两份，。。。n份，然后

相加，在这里说明一种更为简单的，只需开一个一维的数组即可，

如：

1

2 1+1

3 2+1 1+1+1

4 3+1 2+1+1 2+2 1+1+1+1

5 4+1 3+1+1 2+2+1 1+1+1+1+1

6 5+1 4+2 4+1+1 3+1+1+1 3+2+1 3+3 2+1+1+1+1 2+2+2 2+2+1+1 1+1+1+1+1+1

可以找到规律，比如6对应的第一层是1+（5对应的第一层），第二层是2+（4对应的前两层），第三层是3+（3对应

的前三层）第四层是4+（2对应的前两层）
第五层是5+（1对应的第一层）第六层6+（0）；

核心代码只有3行；

具体代码：

01.

#include<stdio.h>

02.

#include<string.h>

03.

int

dp[11];

04.

int

main()

05.

{

06.

int

i,j,N,n;

07.

memset

(dp,0,

sizeof

(dp));

08.

dp[0]=1;

09.

for

(i=1;
i<=10; i++)

10.

for

(j=i;
j<=10; j++)

11.

dp[j]+=dp[j-i];

12.

scanf

(

"%d"

,&N);

13.

while

(N--)

14.

{

15.

scanf

(

"%d"

,&n);

16.

printf

(

"%d\n"

,dp
);

17.

}

18.

}