USACO-Section 4.1 Beef McNuggets （DP）

描述

农夫布朗的奶牛们正在进行斗争，因为它们听说麦当劳正在考虑引进一种新产品：麦香牛块。奶牛们正在想尽一切办法让这种可怕的设想泡汤。奶牛们进行斗争的策略之一是“劣质的包装”。“看，”奶牛们说，“如果你只用一次能装3块、6块或者10块的三种包装盒包装麦香牛块，你就不可能满足一次只想买1、2、4、5、7、8、11、14或者17块麦香牛块的顾客了。劣质的包装意味着劣质的产品。”

你的任务是帮助这些奶牛。给出包装盒的种类数N(1<=N<=10)和N个代表不同种类包装盒容纳麦香牛块个数的正整数(1<=i<=256)，输出顾客不能用上述包装盒(每种盒子数量无限)买到麦香牛块的最大块数。如果所有购买方案都能得到满足或者不存在不能买到块数的上限，则输出0。 不能买到的最大块数（倘它存在）不超过2,000,000,000。

格式

PROGRAM NAME: nuggets

INPUT FORMAT:

(file nuggets.in)

第1行: 包装盒的种类数N

第2行到N+1行: 每个种类包装盒容纳麦香牛块的个数

OUTPUT FORMAT:

(file nuggets.out)

输出文件只有一行数字：顾客不能用包装盒买到麦香牛块的最大块数或0(如果所有购买方案都能得到满足或者顾客不能买到的块数没有上限)。

SAMPLE INPUT

3
3
6
10

SAMPLE OUTPUT

17

无解的情况很好判断：①若最小数为1，则所有数都可以取到，即所以方案数都能满足

②若所有数的最大公约数不为1，则所有的方案数都是其公约数的整数倍，即不存在最大不能购买的上限

是不是我数学太渣了，题解的证明看了好久还是没弄明白上界是怎证明的，感觉不相关啊

“可以证明结果不会超过最大的两个数的最小公倍数”。我来证明一下。

已知，不定方程 ax + by = c ( a , b > 0 且 c >= ab )存在一组整数解( x0 , y0 ) (裴蜀定理)

求证，该不定方程存在一组非负整数解 ( xn , yn ) .

证明 : 由不定方程通解式得 : xn = x0 + b * t , yn = y0 - a * t ( t 是整数 )

令 xn , yn >= 0 解出 - ( x0 / b ) <= t <= ( y0 / a )

因为 c >= a * b 即 a * x0 + b * y0 >= a * b 两边同除 a * b 得 :

y0 / a - ( - x0 / b ) >= 1

所以一定存在 整数t使得 - ( x0 / b ) <= t <= ( y0 / a ) .

所以方程一定有非负整数解. 证毕.

/*
ID: your_id_here
PROG: nuggets
LANG: C++
*/
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

int n,a[15],ans;
bool dp[65536+257]={false};

inline bool judge() {
int gcd=a[0];
for(int i=1;i<n;++i)
gcd=__gcd(gcd,a[i]);
return gcd!=1;
}

int main() {
freopen("nuggets.in","r",stdin);
freopen("nuggets.out","w",stdout);

scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<n;++i) {
scanf("%d",a+i);
dp[a[i]]=true;
}
sort(a,a+n);
if(dp[1]||judge()) {//若数字中含有1，则全部都可以取到；若所有数的最大公约数不为1，则无最大解
printf("0\n");
return 0;
}
ans=0;
for(int i=1;i<65537;++i)
for(int j=0;j<n;++j)
if(dp[i])
dp[i+a[j]]=true;
else
ans=i;
printf("%d\n",ans);
return 0;
}