CQOI2016 bzoj4520 K远点对

题意

传送门

已知平面内 N 个点的坐标，求欧氏距离下的第 K 远点对。

题解

题目越简单做起来越难

恩题意即题解。

想到KK远点对做不起，只能做最远点对。于是果断最远点对，K=1K=1做出来。然后考虑怎么实现第K远。

想到可以每次求凸包然后旋转卡壳求最远点对然后删除。问题又出现了：删除的点仍有可能对K远点对作出贡献。但是，第KK远一定是每个点前KK远合并之后的第K远。所以，我们将删除的点与所有点求距离，存下来，然后重复这一操作。这样的时间复杂度大概是O(nKlogK)O\left( nK \log K \right)，这让我们有些不爽，所以要尽可能优化过程。想到不能再极角排序了，所以我们以1为原点，每次删除编号较大的点，就可以保证不用再次极角排序。

每次删除后得到的距离可以用可并堆维护，只保留KK个点。算是可并堆经典应用吧。这样很有意思。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int NUM=100005;
const LL INF=(1LL<<62);
const int KSIZE=105;

inline LL Sqr(LL x){return x*x;}
inline int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
inline LL Abs(LL a){return a<0?-a:a;}
inline void Swap(int &a,int &b){int t=a;a=b;b=t;}

struct Point{
LL x,y;
}P[NUM];
inline LL Cross(Point a,Point b,Point o)
{   return (a.x-o.x)*(b.y-o.y)-(a.y-o.y)*(b.x-o.x);}
inline LL SqDis(Point a,Point b)
{   return Sqr(a.x-b.x)+Sqr(a.y-b.y);}
inline void SwapPoint(Point &a,Point &b)
{   Point t=a;a=b;b=t;}

int n,K;
vector<int>rec;

void Read()
{   int i;
scanf("%d%d",&n,&K);
for(i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld%lld",&P[i].x,&P[i].y);
}

bool cmp(Point a,Point b)
{   LL tmp=Cross(a,b,P[1]);
if(tmp>0)return 1;
if(tmp<0)return 0;
return SqDis(a,P[1])<SqDis(b,P[1]);
}

const int TOT=10*KSIZE;
int tot,L[TOT],R[TOT],Size[TOT];LL val[TOT];
inline int Newnode(LL v)
{   int x;
if(rec.size()){x=rec.back();rec.pop_back();}
else x=++tot;
val[x]=v;L[x]=R[x]=0;Size[x]=1;return x;
}
int Merge(int x,int y)
{   if(!x||!y)return x+y;
if(val[x]>val[y])Swap(x,y);
R[x]=Merge(R[x],y);
Swap(L[x],R[x]);
Size[x]=Size[L[x]]+1+Size[R[x]];
return x;
}
inline int Del(int x)
{   int t=Merge(L[x],R[x]);
rec.push_back(x);
return t;
}

int stk[NUM],top;bool vst[NUM];
void Solve()
{   int i,k;LL Minx=INF,Miny=INF;
int p,Rt=0,now,s,t;
LL tmp,Max;
rec.clear();

for(i=1;i<=n;i++)
if(P[i].y<Miny||(P[i].y==Miny&&P[i].x<Minx))
{ Miny=P[i].y;Minx=P[i].x;k=i;}
SwapPoint(P[1],P[k]);
sort(P+2,P+1+n,cmp);

int Up=min(K,n-1);
for(i=1;i<=n;i++)vst[i]=0;
for(k=1;k<=Up;k++)
{ stk[top=1]=1;
for(i=2;i<=n;i++)
if(!vst[i])
{ while(top>=2&&Cross(P[i],P[stk[top-1]],P[stk[top]])<=0)
top--;
stk[++top]=i;
}
p=2;stk[top+1]=stk[1];Max=0;
for(i=1;i<=top;i++)
{ while(Abs(Cross(P[stk[i]],P[stk[i+1]],P[stk[p]]))
<Abs(Cross(P[stk[i]],P[stk[i+1]],P[stk[p+1]])))
{ p++;if(p==top+1)p=1;}
tmp=SqDis(P[stk[i]],P[stk[p]]);
if(tmp>Max){Max=tmp;s=stk[i];t=stk[p];}
tmp=SqDis(P[stk[i+1]],P[stk[p]]);
if(tmp>Max){Max=tmp;s=stk[i+1];t=stk[p];}
}
now=0;if(s>t)Swap(s,t);
vst[t]=1;
for(i=1;i<=n;i++)
if(!vst[i])
{ now=Merge(now,Newnode(SqDis(P[t],P[i])));
if(Size[now]>K)now=Del(now);
}
Rt=Merge(Rt,now);
while(Size[Rt]>K)Rt=Del(Rt);
}
printf("%lld\n",val[Rt]);
}

int main(){
Read();
Solve();
return 0;
}