求解逆序数问题
2016-04-13 22:21
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当某两个元素的先后次序与标准次序(从小到大的顺序)不同时,就说有1个逆序。一个排列中所有逆序总数叫做这个排列的逆序数。
方法一:利用归并排序求解
归并排序的主要思想是将整个序列分成两部分,分别递归将这两部分排好序之后,再和并为一个有序的序列。
在合并的过程中是将两个相邻并且有序的序列合并成一个有序序列,如以下两个有序序列
Seq1:3 4 5
Seq2:2 6 8 9
合并成一个有序序:
Seq:2 3 4 5 6 8 9
对于序列seq1中的某个数a[i],序列seq2中的某个数a[j],如果a[i]<a[j],没有逆序数,如果a[i]>a[j],那么逆序数为seq1中a[i]后边元素的个数(包括a[i]),即len1-i+1,
这样累加每次递归过程的逆序数,在完成整个递归过程之后,最后的累加和就是逆序的总数
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难度:5
描述
在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。
现在,给你一个N个元素的序列,请你判断出它的逆序数是多少。
比如 1 3 2 的逆序数就是1。
输入第一行输入一个整数T表示测试数据的组数(1<=T<=5)
每组测试数据的每一行是一个整数N表示数列中共有N个元素(2〈=N〈=1000000)
随后的一行共有N个整数Ai(0<=Ai<1000000000),表示数列中的所有元素。
数据保证在多组测试数据中,多于10万个数的测试数据最多只有一组。
输出输出该数列的逆序数
样例输入
样例输出
方法二:树状数组求解
树状数组实际上还是一个数组,只不过它的每个元素保存了跟原来数组的一些元素相关的结合值。
若A为原数组,定义数组C为树状数组。C数组中元素C[ i ]表示A[ i –lowbit( i ) + 1]至A[ i ]的结合值。
lowbit(i)是i的二进制中最后一个不为零的位数的2次方,可以这样计算
lowbit(i)=x&(-x)
lowbit(i)=x&(x^(x-1))
当想要查询一个sum(n)时,可以依据如下算法即可:
step1: 令sum = 0,转第二步;
step2: 假如n <= 0,算法结束,返回sum值,否则sum = sum + Cn,转第三步;
step3: 令n = n – lowbit(n),转第二步。
n = n – lowbit(n)这一步实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有log(n)个1,所以查询效率是log(n)的。
修改一个节点,必须修改其所有祖先,最坏情况下为修改第一个元素,最多有log(n)的祖先。所以修改算法如下(给某个结点i加上x):
step1: 当i > n时,算法结束,否则转第二步;
step2: Ci = Ci + x, i = i + lowbit(i)转第一步。
i = i +lowbit(i)这个过程实际上也只是一个把末尾1补为0的过程。
求逆序的思路:
可以把数一个个插入到树状数组中, 每插入一个数, 统计比他小的数的个数,对应的逆序为 i- getsum( data[i] ),其中 i 为当前已经插入的数的个数, getsum( data[i] )为比 data[i] 小的数的个数,i- getsum( data[i] ) 即比 data[i] 大的个数, 即逆序的个数。最后需要把所有逆序数求和,就是在插入的过程中边插入边求和。
方法一:利用归并排序求解
归并排序的主要思想是将整个序列分成两部分,分别递归将这两部分排好序之后,再和并为一个有序的序列。
在合并的过程中是将两个相邻并且有序的序列合并成一个有序序列,如以下两个有序序列
Seq1:3 4 5
Seq2:2 6 8 9
合并成一个有序序:
Seq:2 3 4 5 6 8 9
对于序列seq1中的某个数a[i],序列seq2中的某个数a[j],如果a[i]<a[j],没有逆序数,如果a[i]>a[j],那么逆序数为seq1中a[i]后边元素的个数(包括a[i]),即len1-i+1,
这样累加每次递归过程的逆序数,在完成整个递归过程之后,最后的累加和就是逆序的总数
求逆序数
时间限制:2000 ms | 内存限制:65535 KB难度:5
描述
在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。
现在,给你一个N个元素的序列,请你判断出它的逆序数是多少。
比如 1 3 2 的逆序数就是1。
输入第一行输入一个整数T表示测试数据的组数(1<=T<=5)
每组测试数据的每一行是一个整数N表示数列中共有N个元素(2〈=N〈=1000000)
随后的一行共有N个整数Ai(0<=Ai<1000000000),表示数列中的所有元素。
数据保证在多组测试数据中,多于10万个数的测试数据最多只有一组。
输出输出该数列的逆序数
样例输入
2 2 1 1 3 1 3 2
样例输出
0 1
#include <stdio.h> #define max 1000001 long long a[max],b[max]; long long count; void Merge(long long a[], int start, int mid , int end) //归并排序的合并部分 { int i = start,j = mid + 1,k = start; while(i <= mid&&j <= end) { if(a[i] <= a[j]) { b[k++] = a[i++]; } else { count += j - k;//统计逆序数对 b[k++] = a[j++]; } } while(i <= mid) { b[k++] = a[i++]; } while(j <= end) { b[k++] = a[j++]; } for(int i = start; i <= end; i++) { a[i] = b[i]; } } void MergeSort(long long a[], int start, int end) //归并排序 { if(start < end) { int mid = (start + end)/2; MergeSort(a,start,mid); // 将前半部分排序 MergeSort(a,mid+1,end); // 将后半部分排序 Merge(a,start,mid,end); // 合并前后两个部分 } } int main(int argc, char const *argv[]) { int n,m; scanf("%d",&n); while(n--) { scanf("%d",&m); count = 0; for(int i = 0; i < m; i++) { scanf("%d",a+i); } MergeSort(a,0,m-1); printf("%lld\n",count); } return 0; }
方法二:树状数组求解
树状数组实际上还是一个数组,只不过它的每个元素保存了跟原来数组的一些元素相关的结合值。
若A为原数组,定义数组C为树状数组。C数组中元素C[ i ]表示A[ i –lowbit( i ) + 1]至A[ i ]的结合值。
lowbit(i)是i的二进制中最后一个不为零的位数的2次方,可以这样计算
lowbit(i)=x&(-x)
lowbit(i)=x&(x^(x-1))
当想要查询一个sum(n)时,可以依据如下算法即可:
step1: 令sum = 0,转第二步;
step2: 假如n <= 0,算法结束,返回sum值,否则sum = sum + Cn,转第三步;
step3: 令n = n – lowbit(n),转第二步。
n = n – lowbit(n)这一步实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有log(n)个1,所以查询效率是log(n)的。
修改一个节点,必须修改其所有祖先,最坏情况下为修改第一个元素,最多有log(n)的祖先。所以修改算法如下(给某个结点i加上x):
step1: 当i > n时,算法结束,否则转第二步;
step2: Ci = Ci + x, i = i + lowbit(i)转第一步。
i = i +lowbit(i)这个过程实际上也只是一个把末尾1补为0的过程。
求逆序的思路:
可以把数一个个插入到树状数组中, 每插入一个数, 统计比他小的数的个数,对应的逆序为 i- getsum( data[i] ),其中 i 为当前已经插入的数的个数, getsum( data[i] )为比 data[i] 小的数的个数,i- getsum( data[i] ) 即比 data[i] 大的个数, 即逆序的个数。最后需要把所有逆序数求和,就是在插入的过程中边插入边求和。
#include <iostream> #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <algorithm> #include <string.h> using namespace std; const int maxn=500005; int n; int aa[maxn]; //离散化后的数组 int c[maxn]; //树状数组 struct Node{ int v; int order; }in[maxn]; int lowbit(int x) { return x&(-x); } void update(int t,int value) { int i; for(i=t;i<=n;i+=lowbit(i)) { c[i]+=value; } } int getsum(int x) { int i; int temp=0; for(i=x;i>=1;i-=lowbit(i)) { temp+=c[i]; } return temp; } bool cmp(Node a ,Node b) { return a.v<b.v; } int main() { int i,j; while(scanf("%d",&n)==1 && n) { //离散化 for(i=1;i<=n;i++) { scanf("%d",&in[i].v); in[i].order=i; } sort(in+1,in+n+1,cmp); for(i=1;i<=n;i++) aa[in[i].order]=i; //树状数组求逆序 memset(c,0,sizeof(c)); long long ans=0; for(i=1;i<=n;i++) { update(aa[i],1); ans+=i-getsum(aa[i]); } cout<<ans<<endl; } return 0; }
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