楼层扔鸡蛋问题

[b]楼层扔鸡蛋问题 [/b]

[b]题目[/b]
　　“两个软硬程度一样但未知的鸡蛋，它们有可能都在一楼就摔碎，也可能从一百层楼摔下来没事。有座100层的建筑，要你用这两个鸡蛋确定哪一层是鸡蛋可以安全落下的最高位置，可以摔碎两个鸡蛋。”

分析
这是典型的动态规划问题。假设f
表示从n层楼找到摔鸡蛋不碎安全位置的最少判断次数。假设第一个鸡蛋第一次从第i层扔下，如果碎了，就剩一个鸡蛋，为确定下面楼层中的安全位置，必须从第一层挨着试，还需要i-1次；如果不碎的话，上面还有n-i层，剩下两个鸡蛋，还需要f[n-i]次（子问题，实体n层楼的上n-i层需要的最少判断次数和实体n-i层楼需要的最少判断次数其实是一样的）。因此，最坏情况下还需要判断max(i-1,f[n-i])次。

　　状态转移方程：f
= min{ 1+max(i-1,f[n-i]) | i=1..n } 初始条件: f[0]=0（或f[1]=1）

解法
　　实际上，两个鸡蛋的情况用数学方程就可以解决，前提是你知道该怎么扔：
　　一种想法是第一个鸡蛋折半搜索，如100层的楼，先从50层扔下去，如果碎了则第二个鸡蛋在1~49层楼中自底向上线性搜索；如果没碎则第一个鸡蛋再从75层扔。如果这次碎了则第二个鸡蛋在51~74层楼中自底向上线性搜索；如果还没碎则第一个鸡蛋再从88层扔，依此类推。这种方法不是最优，因为最坏情况下安全位置恰好是49层，需要尝试50次。
　　正确的方法是先假设最少判断次数为x，则第一个鸡蛋第一次从第x层扔（不管碎没碎，还有x-1次尝试机会）。如果碎了，则第二个鸡蛋在1～x-1层中线性搜索，最多x-1次；如果没碎，则第一个鸡蛋第二次从x+(x-1)层扔（现在还剩x-2次尝试机会）。如果这次碎了，则第二个鸡蛋在x+1～x+(x-1)-1层中线性搜索，最多x-2次；如果还没碎第一个鸡蛋再从x+(x-1)+(x-2)层扔，依此类推。x次尝试所能确定的最高楼层数为x+(x-1)+(x-2)+...+1=x(x+1)/2。
　　比如100层的楼，只要让x(x+1)/2>=100，得x>=14，最少判断14次。具体地说，100层的楼，第一次从14层开始扔。碎了好说，从第1层开始试。不碎的话还有13次机会，再从14+13=27层开始扔。依此类推，各次尝试的楼层依次为:

　　14， 27 = 14 + 13， 39 = 27 + 12 ， ... ， 99 = 95 + 4， 100

推广
　　现在推广成n层楼，m个鸡蛋：
　　还是动态规划。假设f[n,m]表示n层楼、m个鸡蛋时找到摔鸡蛋不碎的最少判断次数。则一个鸡蛋从第i层扔下，如果碎了，还剩m-1个鸡蛋，为确定下面楼层中的安全位置，还需要f[i-1,m-1]次（子问题）；不碎的话，上面还有n-i层，还需要f[n-i,m]次（子问题，实体n层楼的上n-i层需要的最少判断次数和实体n-i层楼需要的最少判断次数其实是一样的）。

　　状态转移方程：f[n,m] = min{ 1+max(f[i-1,m-1], f[n-i,m]) | i＝1..n } 初始条件：f[i,0]=0（或f[i,1]=i），对所有i

代码
解法一

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

#define M 100
#define N 100

int dp[101][101];

int main ()
{
int i,j,k,m,n;

memset(dp,0,sizeof(dp));

for(i = 1; i <= N; i++)
dp[1][i] = i;

for(j = 2; j <= M; j++)
{
for(k = 1; k <= N; k++)
{
dp[j][k] = 1 + max(dp[j-1][0], dp[j][k-1]);
for(i = 2; i <= k; i++)
dp[j][k] = min(dp[j][k], 1 + max(dp[j-1][i-1], dp[j][k-i]));
}
}

while(scanf("%d %d", &m, &n) != EOF)
printf("%d\n", dp[m]
);

return 0;
}

解法2

/*
*
* m个球，n层楼，最少几次（假设为最坏情况下的最少次数，不是平均次数）
* 能判断从哪层楼开始扔球会坏掉，假设球摔坏的概率与楼层高度无关且每层相等,
* 并且不一定肯定有一层能摔坏
* 递推公式：
* b(m,n) = min{ max{ b(m-1,k-1)+1, b(m,n-k)+1 } }
*
*
*/
#include <stdio.h>

int max(const int &a, const int &b){
return a>b ? a : b;
}

int min(const int &a, const int &b){
return a>b ? b : a;
}

//b(m,n) = min{ max{ b(m-1,k-1)+1, b(m,n-k)+1 } }
//n>=1,m>=2,1<=k<=n
//For convenience, we handle m=1, n=0 separately
void mball_nfloor(int m, int n){
if(m<=0 || n<=0)
return;
int result[m+1][n+1];
int temp_min = n+1;
int temp_max = 0;
//for n==0 and n==1
for(int i=0;i<=m;i++){
result[i][0] = 0;
result[i][1] = 1;
}
//for m==0 and m==1
for(int i=0;i<=n;i++){
result[1][i] = i;
result[0][i] = 0;
}
if(m>1 && n>1){
//start from 2 balls
for(int a=2;a<=m;a++){
//start from 1 floors
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int k=1;k<=i;k++){
temp_max = max(result[a-1][k-1]+1, result[a][i-k]+1);
temp_min = min(temp_min, temp_max);
}
result[a][i] = temp_min;
temp_min = n+1;
}
}
}
for(int i=1;i<=m;i++){
fprintf(stdout, "\n======%d个球，%d层，每种楼层各种丢球方法中最坏情况下的最少丢球次数======\n", i, n);
for(int j=1;j<=n;j++){
fprintf(stdout, "%d\t", result[i][j]);
}
fprintf(stdout, "\n");
}
}

int main(int argc, char **argv)
{
mball_nfloor(2, 100);

return 0;
}

ref：http://blog.163.com/ty_sky0908/blog/static/133360335201101155853282/