线段树区间更新

        在此我们之前学习了线段树的单点更新(点我)。但是现在我们遇到一个这样的问题：

给出一个n个元素的数组A1,A2,...,An。我们总共进行m次操作。每次操作为下列两种操作其中一种：
1、Add(L, R, v): 将A(L), A(L+1),...,A(R)的值全部增加v。
2、Query(L, R): 计算子序列A(L), A(L+1),...,A(R)的元素和，最小值和最大值。
注意：A(L),括号为下标。

        如果我们采用单点更新，我们不难发现每一次都对区间中的每一个点单独更新，那么效率会及其低下。我们要如何既保证效率，有完成整个区间的更新呢？于是某个大牛想到了延迟标记的方法，也就是我们今天要学习的区间更新。

         何为延迟标记呢？从字面理解，延迟标记那就延迟更新的标记。那么怎么做到延迟更新呢？我们举个例子来说明，假设我们现在有一个长度为8的序列，Ai表示第i个元素。

如果我们执行了Add(3, 6, 4)操作，那么我们只将[5, 8]这个区间进行标记，而不继续往下更新，如图：



        从图中我们可以看出，延迟标记只在对应的区间内设置了一个标记，并没有进行更新。那么在什么时候进行更新呢？在查询该区间或者下一次对该区间的元素更新的时候，我们才进行更新。

        我们从这个例子可以发现延迟标记的作用：延迟的标记的加入，使得线段树只对使用到的区间进行更新，没有用到的得区间不更新。这样处理之后，线段树的效率又有了进一步的提高。

        介绍完原理之后我们来谈一谈代码实现吧。

//add数组为延迟标记数组
//sum保存线段树的数组
//sum[i]表示编号为i的区间所对应的区间和
//初始化，sum，add都为0既可
int sum
, add
;
//将标记移至下一层
void pushDown(int i, int lft, int rht) {
if(add[i]){ //如果存在标记就向下更新
//将上一层的标记移至下一层
//i<<1 等价于 i*2
//i<<1|1 等价于 i*2+1
add[i<<1] += add[i];
add[i<<1|1] += add[i];
//(lft+rht)>>1等价于(lft+rht)/2
int mid = (lft+rht)>>1;
sum[i<<1] += add[i]*(mid-lft+1);
sum[i<<1|1] += add[i]*(rht-mid);
add[i] = 0; //清除本层标记
}
}
//对区间[qft, qrht]同时加addval
//i为区间编号，[lft, rht]为编号i对应的区间
void update(int i, int lft, int rht, int qlft, int qrht, int addval) {
if(qlft > rht || qrht < lft) return ;
if(qlft <= lft && qrht >= rht){
//找到对应区间，直接更新这个区间，不往下更新
sum[i] += addval*(rht-lft+1);
//设置延迟更新标记
add[i] += addval;
}
else{
//向下一层更新
pushDown(i, lft, rht);
int mid = (lft + rht) >> 1;
update(i<<1, lft, mid, qlft, qrht, addval);
update(i<<1|1, mid+1, rht, qlft, qrht, addval);
sum[i] = sum[i<<1] + sum[i<<1|1];
}
}
//查询区间[qft, qrht]的和
//i,lft, rht解释同update。
int query(int i, int lft, int rht, int qlft, int qrht) {
if(qlft > rht || qrht < lft) return 0;
if(qlft <= lft && qrht >= rht) return sum[i];
//向下一层更新
pushDown(i, lft, rht);
int mid = (lft + rht) >> 1;
return query(i<<1, lft, mid, qlft, qrht) + query(i<<1|1, mid+1, rht, qlft, qrht);
}

      到此我们已经介绍完线段树的区间更新了，区间最值的代码实现类似在此不再叙述。

大家可以来一道水题练练手(poj 3468 A Simple Problem with Integers)。提示本题有个坑（数据范围）！