第六次CCF计算机软件能力认证考试(第四题）

问题描述

　　某国有n个城市，为了使得城市间的交通更便利，该国国王打算在城市之间修一些高速公路，由于经费限制，国王打算第一阶段先在部分城市之间修一些单向的高速公路。

　　现在，大臣们帮国王拟了一个修高速公路的计划。看了计划后，国王发现，有些城市之间可以通过高速公路直接（不经过其他城市）或间接（经过一个或多个其他城市）到达，而有的却不能。如果城市A可以通过高速公路到达城市B，而且城市B也可以通过高速公路到达城市A，则这两个城市被称为便利城市对。

　　国王想知道，在大臣们给他的计划中，有多少个便利城市对。

输入格式

　　输入的第一行包含两个整数n, m，分别表示城市和单向高速公路的数量。

　　接下来m行，每行两个整数a, b，表示城市a有一条单向的高速公路连向城市b。

输出格式

　　输出一行，包含一个整数，表示便利城市对的数量。

样例输入

5 5

1 2

2 3

3 4

4 2

3 5

样例输出

3

样例说明



　　城市间的连接如图所示。有3个便利城市对，它们分别是(2, 3), (2, 4), (3, 4)，请注意(2, 3)和(3, 2)看成同一个便利城市对。

评测用例规模与约定

　　前30%的评测用例满足1 ≤ n ≤ 100, 1 ≤ m ≤ 1000；

　　前60%的评测用例满足1 ≤ n ≤ 1000, 1 ≤ m ≤ 10000；

　　所有评测用例满足1 ≤ n ≤ 10000, 1 ≤ m ≤ 100000。

题目大意： 给定一个有向图，求出哪些点之间可以相互达到？最后输出的是，可以相互到达的点的对数

思路：这道题明显是求 强连通分量的个数，假设某个连通分量里面节点数为n，那么该连通分量的对数为 n*(n-1)/2 , 只要把所有连通分量的对数加起来就是整张图的对数

本题关键还是求 强连通分量的个数。我网上查了一下，决定用 Tarjan算法。

Tarjan算法：

核心还是dfs深度遍历；

用数组dfn[i]表示搜索到该节点所需要的时间戳、low[i]表示节点i直接或者间接达到的时间最小的点；

当u入栈，扫描u能够达到的所有节点，如果节点v没有访问过，那就先dfs遍历v, low[u] = min(low[u],low[v]) ,如果v在栈里，low[u] = min(low[u],dfn[v]); 当low[u] = dfn[u] 时，栈内节点u以及u以上所有的点全部出栈，这些点为一个强连通子图的节点。

以上时算法的实现步骤，关于证明，呃。。我也不太明白

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

#define MAX 10010

int n; //表示节点数目
vector<int> g[MAX]; //动态数组，节约空间

int Bcnt; //强连通分量个数
int Top; //栈顶
int Index; //时间戳
int low[MAX],dfn[MAX]; //Tarjan算法里的两个重要数组
int belong[MAX],stack[MAX]; //belong数组表示该节点属于哪一个连通分量
bool instack[MAX];
int answer = 0;

void Init_tarjan(){
Bcnt = Top = Index = 0;
for(int i=1;i<=n;i++)
low[i] = dfn[i] = 0;
}

void Tarjan(int u){
stack[Top++] = u; //将元素u入栈
instack[u] = 1; //标记元素已经入栈
low[u] = dfn[u] = ++Index;
for(int i=0;i<g[u].size();i++){
int v = g[u][i];
if(!dfn[v]){
Tarjan(v);
low[u] = min(low[v],low[u]);
}
else if(instack[v])
low[u] = min(low[u],dfn[v]);
}
if(low[u] == dfn[u]){
Bcnt++;
int sum = 0;
int v;
do{
v = stack[--Top]; //出栈
instack[v] = 0;
belong[v] = Bcnt;
sum++; //表示连通子图中节点的个数
}while(u!=v);
sum = (sum * (sum-1))/2;
answer = answer + sum;
}
}

int main(){
int m; //图中的边数
cin>>n>>m;
while(m--){
int x,y;
cin>>x>>y;
g[x].push_back(y);
}
Init_tarjan(); //先初始化
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!dfn[i])
Tarjan(i);
}
cout<<answer<<endl;
return 0;
}