群—深入

几种特殊类型的群
循环群

单群及其单性

几种特殊类型的群

循环群

定义 ：

　循环群（由一个元素生成的群是最简单的群） 若由群G的一个生成元素g的幂次构成G群，即G={g，g2，…，gn}则称G为循环群。元素g称为G的生成元素。

定理：

1）无限循环群必同构于整数加法群ZZ，有限循环群必同构于整数加法群的某个商群Z/mZZ/mZ

2)有限循环群G=《a》的子群仍为循环群。确切说，每个s∈Z⩾0对应于子群《as》.有限m阶循环群Zm的子群与m的正因子一一对应2)有限循环群G=《a》的子群仍为循环群。确切说，每个s\in Z_{\geqslant 0}对应于子群《a^s》.有限m阶循环群Z_{m}的子群与m的正因子一一对应

无限循环群的子群除\,\,\,\,\,无限循环群的子群除{e}以外都是无限循环群，且以外都是无限循环群，且Z的子群与非负整数一一对应。确切说，m的每个正因子对应于Zm的唯一d阶子群《am/d》的子群与非负整数一一对应。确切说，m的每个正因子对应于Z_{m}的唯一d阶子群《a^{m/d}》

引理：

1）设G是交换群，a,b∈G,o(a)=m,o(b)=n，且(m,n)=1，则o(ab)=mn1）设G是交换群，a,b\in G,o(a)=m,o(b)=n，且(m,n)=1，则o(ab)=mn

2）有限交换群中存在一个元素，其阶是群的方次数，即所有元素阶的最小公倍数

命题：

1)设G是有限交换群，则G是循环群的充分必要条件是对于任一正整数m，xm=e在G中最多有m个解1)设G是有限交换群，则G是循环群的充分必要条件是对于任一正整数m，x_{m}=e在G中最多有m个解

下面命题给出对有限交换群的分类

2)设G是有限交换群,|G|=n,n=pe11....pett，则2)设G是有限交换群,|G|=n,n=p_{1}^{e_{1}}....p_{t}^{e_{t}}，则

G≅⊕ti=1(⊕kij=1Zlijpi)G\cong \oplus_{i=1}^t(\oplus_{j=1}^{k_{i}}Z_{p_{i}}^{l_{ij}})

其中Lij为一组整数，满足∑kij=1lij=ei(∀i=1,...,t)其中L_{ij}为一组整数，满足\sum_{j=1}^{k_{i}}l_{ij}=e_{i}\,\,(\forall i=1,...,t)

3)设G是有限交换群，|G|=n，则3)设G是有限交换群，|G|=n，则

G≅⊕ki=1ZdiG\cong \oplus_{i=1}^k Z_{d_{i}}

其中di(i=1,...,k)为一组正整数，满足d1|d2|...|dk且∏ki=1di=0，这些di(i=1,...,k)称为G的其中d_{i}(i=1,...,k)为一组正整数，满足d_{1}|d_{2}|...|d_{k}且\prod_{i=1}^kd_{i}=0，这些d_{i}(i=1,...,k)称为G的不变银子

推论：

设G1≅Zm,G2≅Zn,且(m,n)=1,则G1⊕G2≅Zmn设G_{1}\cong Z_{m},G_{2}\cong Z_{n},且(m,n)=1,则G_{1}\oplus G_{2}\cong Z_{mn}

单群及其单性

An（n⩾5）的单性A_{n}（n\geqslant 5）的单性