hihocode 第九十二周 数论一·Miller-Rabin质数测试

1.long  *  long 快速幂会爆  用快速乘+快速幂 或者大数模板.

2.解题思路 Miller_Rabin 测试

      第一步: 费马小定理

费马小定理：对于质数p和任意整数a，有a^p ≡ a(mod p)(同余)。反之，若满足a^p ≡ a(mod p)，p也有很大概率为质数。
将两边同时约去一个a，则有a^(p-1) ≡ 1(mod p)

     第二步: 二次探测

如果p是奇素数，则 x^2 ≡ 1(mod p)的解为 x ≡ 1 或 x ≡ p - 1(mod p)

如果a^(n-1) ≡ 1 (mod n)成立，Miller-Rabin算法不是立即找另一个a进行测试，而是看n-1是不是偶数。如果n-1是偶数，另u=(n-1)/2，并检查是否满足二次探测定理即a^u ≡ 1 或 a^u ≡ n - 1(mod n)。

举个Matrix67 Blog上的例子，假设n=341，我们选取的a=2。则第一次测试时，2^340 mod 341=1。由于340是偶数，因此我们检查2^170，得到2^170 mod 341=1，满足二次探测定理。同时由于170还是偶数，因此我们进一步检查2^85
mod 341=32。此时不满足二次探测定理，因此可以判定341不为质数。

将这两条定理合起来，也就是最常见的Miller-Rabin测试。

3.一次mr测试的错误率是1/4; n 次是4^-(n);

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
using namespace std;

typedef long long int ll;
ll q[100];
ll quick_add(ll x,ll n,ll m)
{
ll ans=0;
ll b=x%m;
while(n)
{
if(n&1)
{
ans=(ans+b)%m;
}
b=(b+b)%m;
n>>=1;
}
return ans%m;
}
ll quick_mod(ll x,ll n,ll m)
{
ll b=x%m;
ll ans=1;

if(n==0) return 1;
while(n)
{
if(n&1)
{
ans=quick_add(ans,b,m);
}

b=quick_add(b,b,m);
n>>=1;
}
return ans;
}
bool MR(ll x)
{
ll u=x;
if(u%2==0 || u==1) return false;
if(u==2) return true;

u=x-1;
while(u%2==0)
{
u=u/2;
}

//cout<<"safs"<<u<<endl;
for(int i=0; i<10; i++)
{
ll a=rand()%(x-2)+2;
ll h=u;
a=quick_mod(a,u,x);
//cout<<a<<"fbdf"<<endl;

while(h<x)
{
ll b=quick_mod(a,2,x);
//cout<<b<<endl;
if(b==1)
{
if(a!=1 && a!=x-1)
{
return false;
}
}
a=b;
h=h*2;
}

if(a!=1) return false;
}
return true;
}
int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
for(int i=0; i<T; i++)
{
scanf("%lld",&q[i]);
}
for(int i=0; i<T; i++)
{
if(MR(q[i])) printf("Yes\n");
else printf("No\n");
}
return 0;
}


hiho 的伪码讲解
Miller-Rabin(n):
If (n <= 2) Then
If (n == 2) Then
Return True
End If
Return False
End If

If (n mod 2 == 0) Then
// n为非2的偶数，直接返回合数
Return False
End If

// 我们先找到的最小的a^u，再逐步扩大到a^(n-1)

u = n - 1; // u表示指数
while (u % 2 == 0)
u = u / 2
End While // 提取因子2

For i = 1 .. S // S为设定的测试次数
a = rand_Number(2, n - 1) // 随机获取一个2~n-1的数a
x = a^u % n
While (u < n)
// 依次次检查每一个相邻的 a^u, a^2u, a^4u, ... a^(2^k*u)是否满足二次探测定理
y = x^2 % n
If (y == 1 and x != 1 and x != n - 1) // 二次探测定理
// 若y = x^2 ≡ 1(mod n)
// 但是 x != 1 且 x != n-1
Return False
End If
x = y
u = u * 2
End While
If (x != 1) Then // Fermat测试
Return False
End If
End For
Return True