乘法逆元小结
2016-04-09 14:28
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在求解除法取模问题(a/b)%m时,我们可以转化为(a%(b∗m))/b,
但是如果b很大,则会出现爆精度问题,所以我们避免使用除法直接计算。
可以使用逆元将除法转换为乘法:
假设b存在乘法逆元,即与m互质(充要条件)。设c是b的逆元,即b∗c≡1(modm),那么有a/b=(a/b)∗1=(a/b)∗b∗c=a∗c(modm)
即,除以一个数取模等于乘以这个数的逆元取模。
逆元求解一般利用扩欧。
当m为质数的时候直接使用费马小定理,m非质数使用欧拉函数。
当m为质数的时候,神奇的线性方法。
之前总结过扩展欧几里得算法
如果x无法被p整除,则有xp−1≡1(modp)。
可以在p为素数的情况下求出一个数的逆元,x∗xp−2≡1(modp),xp−2即为逆元。
如果x和m互质,则有xϕ(m)≡1(modm),即x×xϕ(m)−1≡1(modm),xϕ(m)−1即为x的逆元。
在m为质数的情况下,ϕ(m)=m−1,即为费马小定理。
利用欧拉函数的积性性质:
对于任意整数n,可以将它分解n=pk11∗pk22∗pk33...pkmm,其中pi为质数。
其中ϕ(n)=ϕ(p1k1)∗ϕ(pk22)...ϕ(pkmm)
最后转化为ϕ(n)=n∗∏(pi−1)/pi
对给定n进行整数分解。时间复杂度O(n−−√)。
筛法求欧拉函数值的表,利用埃氏筛法,每次发现质因子就把他的倍数的欧拉函数乘上(p−1)∗p。时间复杂度O(maxn)。
如ACdreamers博客里介绍,利用定理进行优化:
当n为奇数时,有ϕ(2n)=ϕ(n)
因为2n是偶数,偶数与偶数一定不互素,所以只考虑2n与小于它的奇数互素的情况,则恰好就等于n的欧拉函数值。
设p=k∗a+b,b<a,1<a<p,即k∗a+b≡0(modp)
两边同时乘以a−1∗b−1,得到
k∗b−1+a−1≡0(modp)
a−1≡−k∗b−1(modp)
a−1≡−p/a∗(pmoda)−1(modp)
从头开始扫一遍即可,时间复杂度O(n)
但是如果b很大,则会出现爆精度问题,所以我们避免使用除法直接计算。
可以使用逆元将除法转换为乘法:
假设b存在乘法逆元,即与m互质(充要条件)。设c是b的逆元,即b∗c≡1(modm),那么有a/b=(a/b)∗1=(a/b)∗b∗c=a∗c(modm)
即,除以一个数取模等于乘以这个数的逆元取模。
逆元求解一般利用扩欧。
当m为质数的时候直接使用费马小定理,m非质数使用欧拉函数。
当m为质数的时候,神奇的线性方法。
扩展欧几里得算法:
要求a,m互素。存在唯一解。之前总结过扩展欧几里得算法
代码:
int extgcd(int a, int b, int& x, int& y) { int d = a; if(b != 0){ d = extgcd(b, a % b, y, x); y -= (a / b) * x; }else { x = 1; y = 0; } return d; } int mod_inverse(int a, int m) { int x, y; extgcd(a, m, x, y); return (m + x % m) % m; }
费马小定理:
在p是素数的情况下,对任意整数x都有xp≡x(mod)p。如果x无法被p整除,则有xp−1≡1(modp)。
可以在p为素数的情况下求出一个数的逆元,x∗xp−2≡1(modp),xp−2即为逆元。
代码:
利用快速幂求出逆元。
欧拉函数:
令ϕ(m)表示小于等于m且与m互素的正整数的个数。如果x和m互质,则有xϕ(m)≡1(modm),即x×xϕ(m)−1≡1(modm),xϕ(m)−1即为x的逆元。
在m为质数的情况下,ϕ(m)=m−1,即为费马小定理。
代码:
关键是求出欧拉函数的值。利用欧拉函数的积性性质:
对于任意整数n,可以将它分解n=pk11∗pk22∗pk33...pkmm,其中pi为质数。
其中ϕ(n)=ϕ(p1k1)∗ϕ(pk22)...ϕ(pkmm)
最后转化为ϕ(n)=n∗∏(pi−1)/pi
对给定n进行整数分解。时间复杂度O(n−−√)。
int eurler_phi(int n) { int res = n; for(int i = 2; i * i <= n; i++){ if(n % i == 0){ res = res / i * (i - 1); while(n % i == 0) n /= i; } } if(n != 1) res = res / n * (n - 1); return res; }
筛法求欧拉函数值的表,利用埃氏筛法,每次发现质因子就把他的倍数的欧拉函数乘上(p−1)∗p。时间复杂度O(maxn)。
如ACdreamers博客里介绍,利用定理进行优化:
当n为奇数时,有ϕ(2n)=ϕ(n)
因为2n是偶数,偶数与偶数一定不互素,所以只考虑2n与小于它的奇数互素的情况,则恰好就等于n的欧拉函数值。
int euler[maxn]; void euler_phi2() { for(int i = 1; i < maxn; i++){ if(i % 2 == 0) euler[i] = i / 2; else euler[i] = i; } for(int i = 3; i < maxn; i += 2){ if(euler[i] == i){ for(int j = i; j < maxn; j += i){ euler[j] = euler[j] / i * (i - 1); } } } }
线性时间求所有逆元:
规定p为质数,且1−1≡1(modp)设p=k∗a+b,b<a,1<a<p,即k∗a+b≡0(modp)
两边同时乘以a−1∗b−1,得到
k∗b−1+a−1≡0(modp)
a−1≡−k∗b−1(modp)
a−1≡−p/a∗(pmoda)−1(modp)
从头开始扫一遍即可,时间复杂度O(n)
代码:
int inv[maxn]; inv[1] = 1; for(int i = 2; i < maxn; i++) inv[i] = (p - p / i) % p * inv[p % i];
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