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无处不在的二分查找

2016-04-07 09:59 127 查看
我们都知道二分查找算法，实际上二分查找以及其扩展应用是很广泛的。这里收集了一些和二分查找有关的有趣问题。强烈建议大家看完问题后最小化浏览器，先尝试自己去解决，然后再看代码，问题都不是太难。


问题1描述

给一个已经排序的数组，其中有N个互不相同的元素。要求使用最小的比较次数找出其中的一个元素。(你认为二分查找在排序数组里找一个元素是最优的算法的吗？)

不需要太多的理论，这是一个典型的二分查找算法。先看下面的代码：

01
//
返回要查找元素的下标，-1为没有找到
02
int
BinarySearch(
int
A[],
int
l,
int
r,
int
key)
03
{
04
int
 
m;
05
while
(
l <= r )
06
{
07
m
= l + (r-l)/2;
08
09
if
(
A[m] == key )
//第一次比较
10
return
 
m;
11
12
if
(
A[m] < key )
//
第二次比较
13
l
= m + 1;
14
else
15
r
= m - 1;
16
}
17
18
return
 
-1;
19
}
理论上，我们最多需要 logN+1 次比较。仔细观察，我们在每次迭代中使用两次比较，除了最后比较成功的一次。实际应用上，比较也是代价高昂的操作，往往不是简单的数据类型的比较。减少比较的次数也是优化的方向之一。

下面是一个比较次数更少的实现：

01
//
循环不变式： A[l] <= key &  A[r] > key
02
//
边界: |r - l| = 1
03
//
输入: A[l .... r-1]
04
int
 
BinarySearch(
int
 
A[],
int
 
l,
int
 
r,
int
 
key)
05
{
06
int
 
m;
07
while
(
r - l > 1 )
08
{
09
m
= l + (r-l)/2;
10
11
if
(
A[m] <= key )
12
l
= m;
13
else
14
r
= m;
15
}
16
if
(
A[l] == key )
17
return
 
l;
18
else
19
return
 
-1;
20
}
在while循环中，我们仅依赖于一次比较。搜索空间( l->r )不断缩小，我们需要一个比较跟踪搜索状态。

需要注意的，要保证我们恒等式（A[l] <= key & A[r] > key）正确，后面还会用到循环不变式。

大家可以在这个链接看到上面代码的测试：http://ideone.com/76bad0

问题2描述
给一个有N个互不相同的元素的已排序数组，返回小于或等于给定key的最大元素。 例如输入为 A = {-1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10}   key = 7,应该返回6.

分析：

我们可以用上面的优化方案，还是保持一个恒等式，然后移动 左右两个指针。最终 left指针会指向 小于或等于给定key的最大元素(根据恒等式A[l] <= key and A[r] > key)。

- > 如果数组中所有元素都小于key，左边的指针left 会一直移动到最后一个元素。

- > 如果数组中所有元素都大于key，这是一个错误条件，无答案。

- > 如果数组中的所有元素都 <= key，这是最坏的情况根据下面的实现

代码：

01
//
循环不变式: A[l] <= key and A[r] > key
02
//
边界条件: |r - l| = 1
03
//
输入: A[l .... r-1]
04
//
先决条件: A[l] <= key <= A[r]
05
int
 
Floor(
int
 
A[],
int
 
l,
int
 
r,
int
 
key)
06
{
07
int
 
m;
08
while
(
r - l > 1 )
09
{
10
m
= l + (r - l)/2;
11
if
(
A[m] <= key )
12
l
= m;
13
else
14
r
= m;
15
}
16
return
 
A[l];
17
}
18
19
//
初始调用
20
int
 
Floor(
int
 
A[],
int
 
size,
int
 
key)
21
{
22
//
如果 key < A[0] 不符合条件
23
if
(
key < A[0] )
24
return
 
-1;
25
26
return
 
Floor(A,
0, size,key);
27
}
在这个链接可以看到相应的测试： http://ideone.com/z0Kx4a.

这个函数在C++的STL里面有实现 :  lower_bound 函数

问题3描述
给一个有重复元素的已排序数组，找出给定的元素key出现的次数，时间复杂度要求为logN.

分析

其实可以对上面的程序稍作修改，思路就是分别找出key 第一次出现的位置和最后一次出现的位置。

01
//
输入: 数组区间 [l ... r)
02
//
循环不变式: A[l] <= key and A[r] > key
03
int
 
GetRightPosition(
int
 
A[],
int
 
l,
int
 
r,
int
 
key)
04
{
05
int
 
m;
06
while
(
r - l > 1 )
07
{
08
m
= l + (r - l)/2;
09
if
(
A[m] <= key )
10
l
= m;
11
else
12
r
= m;
13
}
14
return
 
l;
15
}
16
17
//
输入: 数组区间 (l ... r]
18
//
恒等式: A[r] >= key and A[l] > key
19
int
 
GetLeftPosition(
int
 
A[],
int
 
l,
int
 
r,
int
 
key)
20
{
21
int
 
m;
22
while
(
r - l > 1 )
23
{
24
m
= l + (r - l)/2;
25
if
(
A[m] >= key )
26
r
= m;
27
else
28
l
= m;
29
}
30
return
 
r;
31
}
32
33
int
 
CountOccurances(
int
 
A[],
int
 
size,
int
 
key)
34
{
35
//
找出边界
36
int
 
left
= GetLeftPosition(A, -1, size-1, key);
37
int
 
right
= GetRightPosition(A, 0, size,key);
38
39
//
key有可能不存在，需要判断
40
return
 
(A[left]
== key && key == A[right])?
41
   
(right
- left + 1) : 0;
42
}
测试程序：http://ideone.com/zn6R6a.

问题4描述
有一个已排序的数组（无相同元素）在未知的位置进行了旋转操作，找出在新数组中的最小元素所在的位置。

例如：原数组 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}， 旋转后的数组可能是 {6,7,8,9,10, 1,2,3,4,5 }，也可能是 {8,9,10,1,2,3,4,5,6,7 }

分析：

我们不断的缩小 l 左指针和 r 右指针直到有一个元素。把上面划横线的作为第一部分，剩下的为第二部分。如果中间位置m落在第一部分，即A[m] < A[r] 不成立，我们排序掉区间 A[m+1 ... r]。 如果中间位置m落在第二部分，即 A[m]<A[r]成立，我们缩小区间至 A[m+1 .... r ]。 直到搜索的区间大小为1就结束。

01
int
 
BinarySearchIndexOfMinimumRotatedArray(
int
 
A[],
int
 
l,
int
 
r)
02
{
03
int
 
m;
04
05
//
先决条件: A[l] > A[r]
06
if
(
A[l] <= A[r] )
07
return
 
l;
08
09
while
(
l <= r )
10
{
11
//终止条件
12
if
(
l == r )
13
return
 
l;
14
15
m
= l + (r-l)/2; 
//
'm' 可以落在第一部分或第二部分
16
17
if
(
A[m] < A[r] )
18
//
(m < i <= r),可以排除 A[m+1 ... r]
19
r
= m;
20
else
21
//
min肯定在区间 (m < i <= r),
22
//
缩小区间至 A[m+1 ... r]
23
l
= m+1;
24
}
25
return
 
-1;
26
}
27
28
int
 
BinarySearchIndexOfMinimumRotatedArray(
int
 
A[],
int
 
size)
29
{
30
return
 
BinarySearchIndexOfMinimumRotatedArray(A,
0, size-1);
31
}
测试程序：http://ideone.com/KbwDrk.

后续文章中讲继续使用二叉搜索来解决几个有趣的问题，欢迎大家的评论。

ACM之家原创，链接：http://www.acmerblog.com/ubiquitous-binary-search-5345.html
                                            

                                        

                        
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