《常见算法和数据结构》元素排序(4)——凸包问题

元素排序(4)——凸包问题

本系列文章主要介绍常用的算法和数据结构的知识，记录的是《Algorithms I/II》课程的内容，采用的是“算法（第4版）”这本红宝书作为学习教材的，语言是java。这本书的名气我不用多说吧？豆瓣评分9.4，我自己也认为是极好的学习算法的书籍。

通过这系列文章，可以加深对数据结构和基本算法的理解（个人认为比学校讲的清晰多了），并加深对java的理解。

元素排序4凸包问题
凸包问题
凸包问题的应用

凸包的几何性质

Graham 扫描算法

代码

凸包问题

凸包问题就是说，找到一个最小的凸多边形能圈住所有的点。

凸包问题的应用

运动规划：找到从s到t的最短路径，最短路径肯定在凸包上



最远的一对：相隔最远的点对肯定在凸包上

凸包的几何性质

可以通过逆时针遍历所有凸包顶点

凸包的顶点是关于p的极角的递增序列，而p有最小的y坐标。

Graham 扫描算法

选择y坐标最小的p

如何确定最小y坐标？

循环一遍

对所有的点按关于p的 极角排序

如何对点进行极角排序？

如何效率的排序？

用MergeSort

按顺序连接每个点，如果发现打破pi−2→pi−1→pip_{i−2}→p_{i−1}→p_i 打破了逆时针的原则，则舍弃pi−1,pip_{i−1},p_i。

如何判断是否打破了逆时针原则ccw？

如何解决退化问题（多个点在一条直线上）

通过计算（b-a）和（c-a）的叉乘就行了。

如果area > 0 则是逆时针，

如果area < 0 则是顺时针

如果area = 0 则是共线

代码

由于每次要判断最后的2个点是否是逆时针，毫无疑问使用栈结构是比较合适的

public class Point2D
{
private final double x;
private final double y;
public Point2D(double x, double y)
{
this.x = x;
this.y = y;
}
...
public static int ccw(Point2D a, Point2D b, Point2D c)
{
double area2 = (b.x-a.x)*(c.y-a.y) - (b.y-a.y)*(c.x-a.x);
if      (area2 < 0) return -1;
// clockwise
else if (area2 > 0) return +1;
// counter-clockwise
else                return  0;
// collinear
}
}
stack<Point2D> hull = new Stack<Point>();
Array.sort(p,Point2D.Y_ORDER);//find p
Array.sort(p,p[0],BY_POLAR_ORDER)//

hull.push(p[0]);
hull.push(p[1]);

for(i = 2;i <　N;i++)
{
Point2D top = hull.pop();
while(Point2D.ccw(hull.peek(),top,p[i]) <= 0)
top = hull.pop();
hull.push(top);
hull.push(p[i]);

}