[kuangbin带你飞]专题二十 斜率DP

		ID	Origin	Title
	20 / 60	Problem A	HDU 3507	Print Article
	13 / 19	Problem B	HDU 2829	Lawrence
	1 / 5	Problem C	HDU 4528	小明系列故事――捉迷藏
	5 / 6	Problem D	HDU 1300	Pearls
	0 / 42	Problem E	HDU 2993	MAX Average Problem
	1 / 20	Problem F	UVALive 5097	Cross the Wall
	5 / 12	Problem G	HDU 3045	Picnic Cows
	2 / 4	Problem H	HDU 3516	Tree Construction
	3 / 4	Problem I	POJ 1160	Post Office
	3 / 5	Problem J	POJ 1180	Batch Scheduling
	3 / 3	Problem K	POJ 2018	Best Cow Fences
	2 / 4	Problem L	POJ 3709	K-Anonymous Sequence
		Problem M	POJ 2841	Navigation Game
	2 / 2	Problem N	POJ 1260	Pearls
	2 / 4	Problem O	UVA 12594	Naming Babies
	3 / 4	Problem P	HDU 3480	Division
	1 / 1	Problem Q	UVALive 6771	Buffed Buffet

20 / 60 Problem A HDU 3507 Print Article

此题是很基础的斜率DP的入门题。
题意很清楚，就是输出序列a
，每连续输出的费用是连续输出的数字和的平方加上常数M
让我们求这个费用的最小值。
设dp[i]表示输出前i个的最小费用，那么有如下的DP方程：
dp[i]= min{ dp[j]+(sum[i]-sum[j])^2 +M } 0<j<i
其中 sum[i]表示数字的前i项和。
相信都能理解上面的方程。
直接求解上面的方程的话复杂度是O(n^2)
对于500000的规模显然是超时的。下面讲解下如何用斜率优化DP使得复杂度降低一维。

我们首先假设在算 dp[i]时，k<j ,j点比k点优。
也就是
dp[j]+(sum[i]-sum[j])^2+M <= dp[k]+(sum[i]-sum[k])^2+M;
所谓j比k优就是DP方程里面的值更小
对上述方程进行整理很容易得到：
[(dp[j]+sum[j]*sum[j])-(dp[k]+sum[k]*sum[k])] / 2(sum[j]-sum[k]) <=sum[i].
注意整理中要考虑下正负，涉及到不等号的方向。
左边我们发现如果令：yj=dp[j]+sum[j]*sum[j] xj=2*sum[j]
那么就变成了斜率表达式：（yj-yk）/(xj-xk) <= sum[i];
而且不等式右边是递增的。
所以我们可以看出以下两点：我们令g[k,j]=(yj-yk)/(xj-xk)
第一：如果上面的不等式成立，那就说j比k优，而且随着i的增大上述不等式一定是成立的，也就是对i以后算DP值时，j都比k优。
那么k就是可以淘汰的。
第二：如果 k<j<i 而且 g[k,j]>g[j,i] 那么 j 是可以淘汰的。
假设 g[j,i]<sum[i]就是i比j优，那么j没有存在的价值
相反如果 g[j,i]>sum[i] 那么同样有 g[k,j]>sum[i] 那么 k比 j优 那么 j 是可以淘汰的

所以这样相当于在维护一个下凸的图形，斜率在逐渐增大。
通过一个队列来维护。

/*
* 用dp[i][x]表示前i个点，炸掉x条边可以破坏的最大值
* 答案就是tol-dp
[m]
* dp[i][x]=max{dp[j][x-1]+sum[j]*(sum[i]-sum[j])}  x-1<j<i
* 假设在计算i时，k<j,j比k点优
* dp[k][x-1]+sum[k]*(sum[i]-sum[k])<=dp[j][x-1]+sum[j]*(sum[i]-sum[j])
* 化简得 ( (sum[j]*sum[j]-dp[j][x-1])-(sum[k]*sum[k]-dp[k][x-1]) ) /(sum[j]-sum[k]  <=sum[i]
*
* yj=sum[j]*sum[j]-dp[j][x-1]    xj=sum[j]
* (yj-yk)/(xj-xk)<=sum[i]
* 右边不等式是递增的
* g[k,j]=(yj-yk)/(xj-xk)
* 上述不等式成立说明j比k优
* 如果k<j<i  g[k,j]>g[i,j]那么k可以淘汰
* 如果g[j,i]<sum[i]  j可以淘汰
*
*
*/

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=1010;
int n,m;
int a[MAXN];
int sum[MAXN];
int dp[MAXN][MAXN];
int tol;
int getDP(int i,int x,int j)
{
return dp[j][x-1]+sum[j]*(sum[i]-sum[j]);
}
int getUp(int j,int x,int k)
{
return sum[j]*sum[j]-dp[j][x-1]-(sum[k]*sum[k]-dp[k][x-1]);
}
int getDown(int j,int k)
{
return sum[j]-sum[k];
}
int q[MAXN];
void solve()
{
memset(dp,0,sizeof(dp));
int front,rear;
for(int x=1;x<=m;x++)
{
rear=front=0;
q[rear++]=x;
for(int i=x+1;i<=n;i++)
{
while(front+1<rear && getUp(q[front+1],x,q[front])<=sum[i]*getDown(q[front+1],q[front]))
front++;
dp[i][x]=getDP(i,x,q[front]);
while(front+1<rear && getUp(i,x,q[rear-1])*getDown(q[rear-1],q[rear-2])<=getUp(q[rear-1],x,q[rear-2])*getDown(i,q[rear-1]))
rear--;
q[rear++]=i;
}
}
printf("%d\n",tol-dp
[m]);
}
int main()
{
//    freopen("in.txt","r",stdin);
//    freopen("out.txt","w",stdout);
while(scanf("%d%d",&n,&m)==2)
{
if(n==0 && m==0)break;
sum[0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
sum[i]=sum[i-1]+a[i];
}
tol=0;
for(int i=n;i>1;i--)
tol+=a[i]*sum[i-1];
solve();
}
return 0;
}

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1 / 5 Problem C HDU 4528 小明系列故事――捉迷藏
5 / 6 Problem D HDU 1300 Pearls
0 / 42 Problem E HDU 2993 MAX Average Problem
1 / 20 Problem F UVALive 5097 Cross the Wall
5 / 12 Problem G HDU 3045 Picnic Cows
2 / 4 Problem H HDU 3516 Tree Construction
3 / 4 Problem I POJ 1160 Post Office
3 / 5 Problem J POJ 1180 Batch Scheduling
3 / 3 Problem K POJ 2018 Best Cow Fences
2 / 4 Problem L POJ 3709 K-Anonymous Sequence
Problem M POJ 2841 Navigation Game
2 / 2 Problem N POJ 1260 Pearls
2 / 4 Problem O UVA 12594 Naming Babies
3 / 4 Problem P HDU 3480 Division
1 / 1 Problem Q UVALive 6771 Buffed Buffet