动态规划应用之一

笔者在前不久做了腾讯的在线笔试题，面试的移动客户端开发实习生岗位，其中有这样的一个题目：

有一个M行N列的矩阵，其中部分格子里面有一些有价值的物品。现在你从左上角出发，每次只能向右或者向下走，走到右下角的时候，你能获取的物品的总价值最大有多少？

输入数据：第一行有两个数字M N，表示这个矩阵有M行N列。然后从第二行开始，有M行整数，每行都有N个非负整数，表示这一格的物品的价值

输出数据：可以获取的最大的物品总价值

数据范围：0<M, N<=1000，矩阵中的数字不会超过1000

示例

输入：

4 5

0 0 8 0 0

0 0 0 9 0

0 7 0 0 0

0 0 6 0 0

输出：

17

看到这个题，最初的想法是，找出矩阵的最大值，然后以这个值为界将矩阵分成两个矩阵（左上矩阵：这个最大值为左上矩阵的右下角元素；右下矩阵：这个最大值为右下矩阵的左上角元素）。后来一细想，这样做是有问题的，因为这样就直接抛弃了左下和右上的矩阵，就丢失了很多信息。后来想到用动态规划的方法去解决就清晰多了。

明确一下，矩阵有M行和N列，因为数组序号是从0开始的，因此这里行号和列号我也从0开始，那么最后一行就是(M-1)行，最后一列就是(N-1)列。

动态规划有两大性质：最优子结构和重叠子问题。利用动态规划的思想对此问题进行简单的分析。

假设整体最优解路线必定经过格子[x][y]（x,y在矩阵范围内），则整体的最优解必定是（[0][0]->[x][y]）和（[x][y]->[M-1][N-1]）这两个矩阵最优解的和，这就是最优子结构；如果基于这个思想去编程实现的话，我们需要对（x,y）在整个矩阵范围内进行扫描，并找到整体最优解的最大值。然而，这样实现就会显现出重叠子问题重复求解的问题。比如，对于（[0][0]->[x][y]），他的最优解必定是【（[0][0]->[x-1][y]）的最优解加上（x,y）上的价值】与【（[0][0]->[x][y-1]）的最优解加上（x,y）上的价值】的较大者，而（[0][0]->[x-1][y]）的最优解或者（[0][0]->[x][y-1]）的最优解，我们可能会多次重复求解。

另一种思考方式是，

我们从某一端开始考虑，比如从[0][0]开始，他的下一步必定是[0][1]或者[1][0]之一的格子，因此，那么问题就变成了（[0][0]->[0][1]）和（[0][1]->[M-1][N-1]）的最优解或者（[0][0]->[1][0]）和（[1][0]->[M-1][N-1]）的最优解的较大者，那么这个和就是整体的最优解。然后对所有的格子进行这样的考虑。在实现过程中，我们并不知道后面那一部分的最优解，只是计算前面那一部分的最优解，这个计算是一步一步扩大的。需要明确的是，第一行的元素只能是从[0][0]一直往右走，而第一列的元素只能是从[0][0]往下走。



如图所示，matrix矩阵是输入的价值矩阵，result, x, y矩阵是计算过程中定义的矩阵。result[i][j]保存从[0][0]到[i][j]的最优解，x[i][j]和y[i][j]分别保存着（i, j）的最优下一步的行列标号。结合上图和下面的代码。

上面的介绍是从[0][0]开始考虑的，下面的代码实际是从[M-1][N-1]开始考虑的，具体如下：

package com.wl.test;

import java.util.Scanner;

public class Main {

public static void main(String[] args) {

Scanner scanner = new Scanner(System.in);

int max;

String line = "";
String[] parts;

int lineCount = 0, rowCount = 0;
int[][] matrix, result;
int[][] x, y;
int i, j;

while(scanner.hasNextLine()) {

line = scanner.nextLine();
parts = line.split(" ");
rowCount = Integer.parseInt(parts[0]);
lineCount = Integer.parseInt(parts[1]);

matrix = new int[rowCount][lineCount];
result = new int[rowCount][lineCount];
x = new int[rowCount][lineCount];
y = new int[rowCount][lineCount];

for(i=0; i<rowCount; i++) {
line = scanner.nextLine();
parts = line.split(" ");
for(j=0; j<lineCount; j++) {
matrix[i][j] = Integer.parseInt(parts[j]);
}
}

result[rowCount-1][lineCount-1] = 0;
for(i=rowCount-2; i>=0; i--) {
result[i][lineCount-1] = matrix[i][lineCount-1] + result[i+1][lineCount-1];
x[i][lineCount-1] = i+1;
y[i][lineCount-1] = lineCount-1;
}
for(j=lineCount-2; j>=0; j--) {
result[rowCount-1][j] = matrix[rowCount-1][j] + result[rowCount-1][j+1];
x[rowCount-1][j] = rowCount-1;
y[rowCount-1][j] = j+1;
}

for(i=rowCount-2; i>=0; i--) {
for(j=lineCount-2; j>=0; j--) {
if(result[i+1][j] > result[i][j+1]) {
max = result[i+1][j];
x[i][j] = i+1;
y[i][j] = j;
} else {
max = result[i][j+1];
x[i][j] = i;
y[i][j] = j+1;
}
result[i][j] = matrix[i][j] + max;
}
}

x[rowCount-1][lineCount-1] = rowCount-1;
y[rowCount-1][lineCount-1] = lineCount-1;

System.out.println(result[0][0]);
printArray(result, rowCount, lineCount);
printArray(x, rowCount, lineCount);
printArray(y, rowCount, lineCount);
printRoute(x, y, rowCount, lineCount);
}

scanner.close();
}

private static void printArray(int[][] array, int m, int n) {
for(int i=0; i<m; i++) {
for(int j=0; j<n; j++) {
System.out.print(array[i][j] + "\t");
}
System.out.println();
}
System.out.println();
}

private static void printRoute(int[][] x, int[][] y, int rowCount, int lineCount) {
for(int i=0, j=0, m=0, n=0; i!=(rowCount-1)||j!=(lineCount-1); i=x[m]
, j=y[m]
) {
m = i;
n = j;
System.out.print("[" + m + "," + n + "]->");
}
System.out.println("[" + (rowCount-1) + "," + (lineCount-1) + "]");
}
}

上面代码中，第一个for循环用于处理输入，紧接着的两个for循环用于处理最有一行和最后一列的result值，因为那些格子上只能往一个方向走，向右或者向下，没有其他的方向。接下来的嵌套for循环用于扫描所有的格子，直到第一个为止。x和y矩阵记录了最优路径。result矩阵保存了最优解的值，他的另一个作用就是消除了重叠子问题，他保存了子问题的值，因此只需要一次运算。



代码整体上其实很简单，只要理解了实现过程的思想，那么就能容易的写出上述代码。