相似矩阵的意义

 摘自 ： http://spaces.ac.cn/archives/1777/

 

 

Part 1

首先来一个比较物理的理解：矩阵A描述了向量x到向量y的一个运动，即y=Ax 
；但是，这仅仅是在直角坐标系下测量的，在一个新的坐标系P之下，假设测量结果为y ′ =Bx ′  
。

根据我们在前边给出的矩阵几何理解，在P坐标系下测量的x ′  
，在直角坐标系测量为x 
，可以表示成Px ′ =x 
；同理有Py ′ =y 
。代入就得到：Py ′ =APx ′  
，可以稍稍改成Py ′ =P(P −1 AP)x ′  
，换句话说，在P坐标系下，从x ′  
到y ′  
的运动用矩阵B=P −1 AP 
表示，这就是A的一个相似矩阵！所以说，一族相似矩阵，只不过是同一个线性变换在不同坐标系下的一个测量结果而已。

Part 2

其实，相似矩阵还有一个相对直观的几何立体模型。我们知道一个矩阵A由n个列向量组成，它实际上给出了n维空间的一个n维平行方体（类比二维的平行四边形和三维的平行六面体）。而矩阵I实际上给出了一个n维单位方体。假设他们两个存在某种对应关系。

而矩阵A在新坐标系P下的测量结果为P −1 A 
，即A=P(P −1 A) 
；而I在P的测量结果为I=P(P −1 ) 
，也就是说，在新坐标系下，P −1  
与P −1 A 
具有对应关系。那么新坐标系下的单位方体对应什么呢？那就是
P −1 →P −1 P=I 

P −1 A→P −1 AP 

也就是说新坐标系下的单位方体对应着相似矩阵所描述的n维方体！

这压根儿就是配对原则嘛！

这就不难理解为什么相似矩阵的行列式值都相同了。行列式的几何意义就是体积，虽然矩阵A代表的立方体经过坐标变换后体积变了，但是单位方体的体积实则也变啦，也就是说，新坐标系下一切标度都变化了，但是从“数格子”的角度来说，格子数目是没有变化的，所以体积也就没有变化了。