Nim Game

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【总结】

一、这种类型的题，有两种猫腻。一种是 给定N堆硬币（或者石头什么的）；另一种是每次最多取k个。

[ 还有一种是每次只能取K1，K2，K3个，这种情况待完善 ]

1.第一种猫腻的情况下，判断第N堆的硬币个数，是否为“非平衡态”。若为“非平衡态”，则“先取者为胜”；若为“平衡态”，则“后取者为胜”。

2.若每次最多只能取K个。判断第N堆的硬币个数，是否mod（k+1）是否为0。若 为0，则“先取者必胜”；反之不一定。

二、关于“平衡态”的解释：

首先来回忆一下，每个正整数都有对应的一个二进制数，例如：57(10) à 111001(2) ，即：57(10)=25+24+23+20。于是，我们可以认为每一堆硬币数由2的幂数的子堆组成。这样，含有57枚硬币大堆就能看成是分别由数量为25、24、23、20的各个子堆组成。

现在考虑各大堆大小分别为N1，N2，……Nk的一般的Nim取子游戏。将每一个数Ni表示为其二进制数（数的位数相等，不等时在前面补0）：

N1 = as…a1a0

N2 = bs…b1b0

……

Nk = ms…m1m0

如果每一种大小的子堆的个数都是偶数，我们就称Nim取子游戏是平衡的，而对应位相加是偶数的称为平衡位，否则称为非平衡位。因此，Nim取子游戏是平衡的，当且仅当：

as + bs + … + ms 是偶数

……

a1 + b1 + … + m1 是偶数

a0 + b0 + … + m0是偶数

于是，我们就能得出获胜策略：

游戏人I能够在非平衡取子游戏中取胜，而游戏人II能够在平衡的取子游戏中取胜。

【以上来自于：http://www.cnblogs.com/exponent/articles/2141477.html】