PHP实现 Manacher 最大回文子串算法

题目：给一个字符串，找出它的最长的回文子序列的长度。

例如，如果给定的序列是“BBABCBCAB”，则输出应该是7，“BABCBAB”是在它的最长回文子序列。

输入：
aaaa
1212asdfdsa1144121

输出：
4
7

这里我们还是将其封装成函数调用

何谓回文序列

回文序列就是正向和反向完全一样的序列，比如

asdfdsa

和

aaaa

接下来我们由浅及深，一步一步来说一下

Manacher

算法，这里我们只说 PHP 的实现

判断回文序列

通过 PHP 很容易实现，只需要判断正向反向是否相同就行了

function huiwen($str)
{
$str2 = implode(array_reverse(str_split($str)), "");

if ($str == $str2) {
echo "$str, yes";
} else {
echo "$str, no";
}
}

接下来我们就来讲解最大回文子串如何去求

第一版代码

求回文子串，毫无疑问需要每个字符遍历一遍，分别求出来各个字符的回文长度，然后选出最长的那一个

代码如下：

function palindrome($str)
{
$n = strlen($str);
$pos = 0;
$max = 0;

for ($i = 0; $i < $n; $i++) {
for ($j = 0; ($i - $j >= 0) && ($i + $j < $n); $j++) {
if ($str[$i - $j] != $str[$i + $j]) {
break;
}
if ($j > $max) {
$max = $j;
$pos = $i;
}
}
}
var_dump(substr($str, $pos - $max, $max * 2 + 1));
}

可以看到，这个代码是有bug的，因为回文子串可能是奇数长度，也可能是偶数长度，因为我们是以一个字符为中心来求的，所以用这种方法只能求出奇数长度的回文子串，接下来我们来改进一下

第二版改进

因为我们只能求出奇数长度的回文子串，因此我们需要把字符串改进一下

首先通过在每个字符的两边都插入一个特殊的符号，将所有可能的奇数或偶数长度的回文子串都转换成了奇数长度。比如 abba 变成 #a#b#b#a#， aba变成 #a#b#a#，这样我们再来看一下代码：

function palindrome($str)
{
$pos = 0;
$max = 0;

$newStr = "#" . implode(str_split($str), "#") . "#";
$n = strlen($newStr);

for ($i = 0; $i < $n; $i++) {
for ($j = 0; ($i - $j >= 0) && ($i + $j < $n); $j++) {
if ($newStr[$i - $j] != $newStr[$i + $j]) {
break;
}
if ($j > $max) {
$max = $j;
$pos = $i;
}
}
}

$r = substr($newStr, $pos - $max, $max * 2);
$res = str_replace("#", "", $r);
var_dump($res);
}

这个样子我们就写好了基本的回文子串算法了，但是在这个算法中，我们用了两层

for

循环，并且需要判断当前字符的位置是否越界，效率较低，接下来我们来看

Manacher

算法

Manacher 算法实现

首先，为了进一步减少编码的复杂度，可以在字符串的开始和结尾加入另一个特殊字符，这样就不用特殊处理越界问题，这里我们在开头和结尾分别加入

@

和

\0

，如

abba

变成

@#a#b#b#a#\0

接下来，我们引入一个辅助序列

$p[]

来记录各个位置的回文长度（注意：我们这里记录的回文长度是单向的长度，比如

12321

我们记录的回文长度为 3，实际回文长度是

$p[$i] * 2 - 1

）

比如字符串

$s[]

与辅助序列

$p[]

的对应关系如下：

S # 1 # 2 # 2 # 1 #

P 1 2 1 2 5 2 1 2 1

最后，核心代码在于这一句：

$p[$i] = $mx > $i ? min($p[$j], $mx - $i) : 1;

通过这步操作我们可以避免很多不必要的匹配，我们结合下面的代码来理解这句操作

$mx

是最大回文序列最右侧边界的坐标，

$i

是当前要计算的位置，

$j

是

$i

相对于最大回文序列中间坐标

$pos

的对称点

由于回文序列的性质，回文序列是对称的，也就是说

如果：

$mx > $i

那么

$p[$i] >= $mx > $i ? min($p[$j], $mx - $i) : 1;

可以这么理解：

如果

$mx > $i

，这时 当前位置 在 当前最大回文序列 的右半部分里面，根据回文序列的对称性，可以得出，当前位置

$i

的回文长度一定大于等于与之对称

$j

的回文长度，所以说直接从

$j

的回文长度开始计算

但是如果

$mx > $i

，这时 当前位置 在 当前最大回文序列 之外，无法判断

$mx

以后字符的对称性，因此从 1 开始

function palindrome($str)
{
// 最大回文序列中间坐标
$pos = 0;
// 最大回文长度
$max = 0;
// 回文序列最右边界坐标
$mx = 0;

$p = array("0" => 1, "1" => 1);

$newStr = "@#" . implode(str_split($str), "#") . "#\0";
$n = strlen($newStr);

for ($i = 2; $newStr[$i] != "\0"; $i++) {
// $i 相对于最大回文序列中间坐标 $pos 的对称点
$j = $pos - $i > 0 ? $pos - $i : 1;
$p[$i] = $mx > $i ? min($p[$j], $mx - $i) : 1;
while ($newStr[$i - $p[$i]] == $newStr[$i + $p[$i]]) {
$p[$i]++;
}

if ($p[$i] > $max) {
$max = $p[$i];
$pos = $i;
$mx = $i + $max;
}
}

$r = substr($newStr, $pos - $max + 1, $max * 2 - 1);
$res = str_replace(array("#", "@", "\0"), "", $r);
var_dump($res);
}

Manacher 算法的时间复杂度为O(n)，优势在于避免了奇偶数讨论的问题，简化了边界判断，还记录了当前字符串的“回文状态”，利用之前的回文状态来求当前回文状态 ，体现了动态规划的思想