贪心算法
2016-04-04 15:49
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贪心法
贪心法(Greedy algorithm)是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最好/优的选择,从而希望导致结果是最好/优的算法。比如在旅行推销员问题中,如果旅行员每次都选择最近的城市, 那这就是一种贪心算法。
贪心算法在有最优子结构的问题中尤为有效。最优子结构的意思是局部最优解能决定全局最优解。简单地说,问题能够分解成子问题来解决,子问题的最优解能递推到最终问题的最优解。
贪心算法与动态规划的不同在于它每对每个子问题的解决方案都做出选择,不能回退。动态规划则会保存以前的运算结果,并根据以前的结果对当前进行选择,有回退功能。
贪心法可以解决一些最优性问题,如:求图中的最小生成树、求哈夫曼编码……对于其他问题,贪心法一般不能得到我们所要求的答案。一旦一个问题可以通过贪心法来解决,那么贪心法一般是解决这个问题的最好办法。由于贪心法的高效性以及其所求得的答案比较接近最优结果,贪心法也可以用作辅助算法或者直接解决一些要求结果不特别精确的问题。
贪心法解题特点
贪心法有一个共同的点就是在最优求解的过程中都采用一种局部最优策略,把问题范围和规模缩小最后把每一步的结果合并起来得到一个全局最优解。
贪心法解题的一般步骤
(1)从问题的某个初始解出发;
(2)采用循环语句,当可以向求解目标前进一部时,就根据局部最优策略,得到一个部分解,缩小问题的范围和规模;
(3)将所有部分解综合起来,得到问题最终解。
该算法存在问题:
1. 不能保证求得的最后解是最佳的;
2. 不能用来求最大或最小解问题;
3. 只能求满足某些约束条件的可行解的范围。
用背包问题来介绍贪心算法:背包问题:有一个背包,背包容量是M=150。有7个物品,物品可以分割成任意大小。要求尽可能让装入背包中的物品总价值最大,但不能超过总容量。
物品 A B C D E F G
重量 35 30 60 50 40 10 25
价值 10 40 30 50 35 40 30
分析如下
目标函数: ∑pi最大
约束条件是装入的物品总重量不超过背包容量:∑wi<=M( M=150)。
(1)根据贪心的策略,每次挑选价值最大的物品装入背包,得到的结果是否最优?
(2)每次挑选所占重量最小的物品装入是否能得到最优解?
(3)每次选取单位重量价值最大的物品,成为解本题的策略。
值得注意的是,贪心算法并不是完全不可以使用,贪心策略一旦经过证明成立后,它就是一种高效的算法。
贪心算法还是很常见的算法之一,这是由于它简单易行,构造贪心策略不是很困难。
可惜的是,它需要证明后才能真正运用到题目的算法中。
一般来说,贪心算法的证明围绕着:整个问题的最优解一定由在贪心策略中存在的子问题的最优解得来的。
对于背包问题中的3种贪心策略,都是无法成立(无法被证明)的,解释如下:
贪心策略:选取价值最大者。反例:
W=30
物品:A B C
重量:28 12 12
价值:30 20 20
根据策略,首先选取物品A,接下来就无法再选取了,可是,选取B、C则更好。
(2)贪心策略:选取重量最小。它的反例与第一种策略的反例差不多。
(3)贪心策略:选取单位重量价值最大的物品。反例:
W=30
物品:A B C
重量:28 20 10
价值:28 20 10
根据策略,三种物品单位重量价值一样,程序无法依据现有策略作出判断,如果选择A,则答案错误。但是果在条件中加一句当遇见单位价值相同的时候,优先装重量小的,这样的问题就可以解决.
所以需要说明的是,贪心算法可以与随机化算法一起使用,具体的例子就不再多举了。(因为这一类算法普及性不高,而且技术含量是非常高的,需要通过一些反例确定随机的对象是什么,随机程度如何,但也是不能保证完全正确,只能是极大的几率正确)。
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