最长回文子串（动态规划和递归）

给一个字符串，找出它的最长的回文子序列的长度。例如，如果给定的序列是“BBABCBCAB”，则输出应该是7，“BABCBAB”是在它的最长回文子序列。 “BBBBB”和“BBCBB”也都是该字符串的回文子序列，但不是最长的。注意和最长回文子串的区别(参考：最长回文串)！这里说的子序列，类似最长公共子序列LCS( Longest
Common Subsequence)问题，可以是不连续的。这就是LPS(Longest Palindromic Subsequence)问题。

最直接的解决方法是：生成给定字符串的所有子序列，并找出最长的回文序列，这个方法的复杂度是指数级的。下面来分析怎么用动态规划解决。

1）最优子结构

假设 X[0 ... n-1] 是给定的序列，长度为n. 让 L(0,n-1) 表示 序列 X[0 ... n-1] 的最长回文子序列的长度。

1. 如果X的最后一个元素和第一个元素是相同的，这时：L(0, n-1) = L(1, n-2) + 2 , 还以 “BBABCBCAB” 为例，第一个和最后一个相同，因此 L(1,n-2) 就表示蓝色的部分。

2. 如果不相同：L(0, n-1) = MAX ( L(1, n-1) , L(0, n-2) )。 以”BABCBCA” 为例，L(1,n-1)即为去掉第一个元素的子序列，L(0, n-2)为去掉最后一个元素。

有了上面的公式，可以很容易的写出下面的递归程序：

01	#include<stdio.h>

02	#include<string.h>

03	int lps( char *seq, int i, int j)

04

{

05

//一个元素即为1

06	if (i == j)

07

return 1;

08	if (i > j) return 0; //因为只计算序列 seq[i ... j]

09

10

// 如果首尾相同

11	if (seq[i] == seq[j])

12	return lps (seq, i+1, j-1) + 2;

13

14

// 首尾不同

15	return max( lps(seq, i,j-1), lps(seq, i+1, j) );

16

}

17

18

/* 测试 */

19	int main()

20

{

21	char seq[] = "acmerandacm" ;

22	int n = strlen (seq);

23	printf ( "The lnegth of the LPS is %d" , lps(seq, 0, n-1));

24	getchar ();

25

return 0;

26

}

Output: The lnegth of the LPS is 5 (即为: amama)

重叠子问题

画出上面程序的递归树(部分)，已一个长度为6 的字符串为例：

1

L(0, 5)

2

/ \

3

/ \

4	L(1,5) L(0,4)

5

/ \/ \

6

/ \/\

7	L(2,5) L(1,4) L(1,4) L(0,3)

可见有许多重复的计算，例如L(1,4)。该问题符合动态规划的两个主要性质: [b][b]重叠子问题[/b][/b] 和 [b][b][b]最优子结构 [/b][/b][/b]。

下面通过动态规划的方法解决，通过自下而上的方式打表，存储子问题的最优解。

01	int lpsDp( char * str, int n){

02	int dp , tmp;

03	memset (dp,0, sizeof (dp));

04	for ( int i=0; i<n; i++) dp[i][i] = 1;

05	// i 表示 当前长度为 i+1的 子序列

06	for ( int i=1; i<n; i++){

07

tmp = 0;

08	//考虑所有连续的长度为i+1的子串. 该串为 str[j, j+i]

09	for ( int j=0; j+i<n; j++){

10

//如果首尾相同

11	if (str[j] == str[j+i]){

12	tmp = dp[j+1][j+i-1] + 2;

13

} else {

14	tmp = max(dp[j+1][j+i],dp[j][j+i-1]);

15

}

16	dp[j][j+i] = tmp;

17

}

18

}

19	//返回串 str[0][n-1] 的结果

20	return dp[0][n-1];

21

}

该算法的时间复杂度为O(n^2)。其实这个问题和 最长公共子序列 问题有些相似之处，我们可以对LCS算法做些修改，来解决此问题:

1) 对给定的字符串逆序 存储在另一个数组 rev[] 中

2) 再求这两个 字符串的 LCS的长度

时间复杂度也为 O(n^2)。

参考：http://www.geeksforgeeks.org/dynamic-programming-set-12-longest-palindromic-subsequence/