bzoj 1977: [BeiJing2010组队]次小生成树 Tree

1977: [BeiJing2010组队]次小生成树 Tree

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Description

小 C 最近学了很多最小生成树的算法，Prim 算法、Kurskal 算法、消圈算法等等。 正当小 C 洋洋得意之时，小 P 又来泼小 C 冷水了。小 P 说，让小 C 求出一个无向图的次小生成树，而且这个次小生成树还得是严格次小的，也就是说： 如果最小生成树选择的边集是 EM，严格次小生成树选择的边集是 ES，那么需要满足：(value(e) 表示边 e的权值)

这下小
C 蒙了，他找到了你，希望你帮他解决这个问题。

Input

第一行包含两个整数N 和M，表示无向图的点数与边数。 接下来 M行，每行 3个数x y z 表示，点 x 和点y之间有一条边，边的权值为z。

Output

包含一行，仅一个数，表示严格次小生成树的边权和。(数据保证必定存在严格次小生成树)

Sample Input

5 6

1 2 1

1 3 2

2 4 3

3 5 4

3 4 3

4 5 6

Sample Output

11

HINT

数据中无向图无自环； 50% 的数据N≤2 000 M≤3 000； 80% 的数据N≤50 000 M≤100 000； 100% 的数据N≤100 000 M≤300 000 ，边权值非负且不超过 10^9 。

Source

题解：首先需要构造出最小生成树（kruskal）算法。然后从不是最小生成树的边中选出一条，如果把这条边加入树中，那么在树中必然形成了一个环，用lca 可以确定出有这条边的两个顶点构成的树链，然后求一下树链的最大值和次大值（在建树的时候用倍增预处理出最大值和次大值）

因为是严格的次小生成树，所以如果新加的边的权值等于删去的边的权值是不合法的，所以我们维护最大值和次大值

当当前边的边权与树链中的最大值相等时，我们用次大值来更新最小增量。那么有没有可能树链中的最大值大于当前边的边权呢？其实不必担心因为这是不可能的，在构建最小生成树时是按权值排序的，如果当前边的边权小于树链中的最大值的话，那么建树时一定会选用当前边，所以我们要求次小生成树，其实就是求最小增量，而这种方式用心感受一下，还是很科学的。

当然这道题貌似也可以用线段树+链剖来做，有想法的可以尝试（貌似代码巨长）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 100003
using namespace std;
int n,m;
struct data
{
int x,y,v,pd;
};data a[3*N];
int father
,tot,mn;
int next[N*2],point
,v[2*N],c[2*N],deep
;
int fa
[20],maxn
[20],mx
[20],mi[20];
long long ans=0;
int cmp(data x,data y)
{
return x.v<y.v;
}
void add(int x,int y,int k)
{
tot++; next[tot]=point[x]; point[x]=tot; v[tot]=y; c[tot]=k;
tot++; next[tot]=point[y]; point[y]=tot; v[tot]=x; c[tot]=k;
}
int find(int x)
{
if (father[x]==x) return x;
father[x]=find(father[x]);
return father[x];
}
void dfs(int x,int f,int depth)
{
deep[x]=depth;
for (int i=1;i<=17;i++)
{
if (deep[x]-mi[i]<0) break;
fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
maxn[x][i]=max(maxn[x][i-1],maxn[fa[x][i-1]][i-1]);
if (maxn[x][i-1]==maxn[fa[x][i-1]][i-1])
mx[x][i]=max(mx[x][i-1],mx[fa[x][i-1]][i-1]);
else
{
int t=min(maxn[x][i-1],maxn[fa[x][i-1]][i-1]);
t=max(t,mx[x][i-1]); t=max(t,mx[fa[x][i-1]][i-1]);
mx[x][i]=t;
}
}
for (int i=point[x];i;i=next[i])
if (v[i]!=f)
{
fa[v[i]][0]=x;
maxn[v[i]][0]=c[i];
mx[v[i]][0]=-1;
dfs(v[i],x,depth+1);
}
}
int lca(int x,int y)
{
if (deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
int k=deep[x]-deep[y];
for (int i=0;i<=17;i++)
if (k>>i&1) x=fa[x][i];
if (x==y) return x;
for (int i=17;i>=0;i--)
if (fa[x][i]!=fa[y][i])
x=fa[x][i],y=fa[y][i];
return fa[x][0];
}
void solve(int x,int f,int v)
{
int k=deep[x]-deep[f];
int p1=0,p2=0;
for (int i=0;i<=17;i++)
if (k>>i&1)
{
p2=max(p2,mx[x][i]);
if (maxn[x][i]>p1)
{
p2=max(p2,p1);
p1=maxn[x][i];
}
}
if (p1==v) mn=min(mn,v-p2);
else mn=min(mn,v-p1);
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=1;i<=m;i++)
scanf("%d%d%d",&a[i].x,&a[i].y,&a[i].v);
sort(a+1,a+m+1,cmp);
for (int i=1;i<=n;i++) father[i]=i;
int num=0;
mi[0]=1;
for (int i=1;i<=17;i++) mi[i]=mi[i-1]*2;
for (int i=1;i<=m;i++)
{
int r1=find(a[i].x); int r2=find(a[i].y);
if (r1!=r2)
{
father[r2]=r1;
ans+=(long long)a[i].v;
a[i].pd=1;
add(a[i].x,a[i].y,a[i].v);
num++;
}
if (num==n-1) break;
}
dfs(1,0,1);
mn=1e9;
for (int i=1;i<=m;i++)
if (!a[i].pd)
{
int t=lca(a[i].x,a[i].y);
solve(a[i].x,t,a[i].v);
solve(a[i].y,t,a[i].v);
}
ans+=(long long)mn;
printf("%lld\n",ans);
}