Move · 卡特兰数 + 组合数学 附逆元

比较经典的数论好题。

大意：从(0,0)出发，每次可以向(i+1,j),(i+1,j+1),(i+1,j-1)三个方向走，但是要求不能经过第四象限，问到(n,0)有多少种走法。

每走一步都会在横坐标上前进一个，所以肯定是走n步，只需要考虑纵坐标就行了。

如果不考虑直走的情况，,枚举k表示上去了多少步，那么既然最终要到(n,0)肯定是要上去多少步还要下来多少步，那其实这就是个卡特兰数啦，然后剩下的n-2*k步直走的，随便插在哪里都可以了，也就是在n个空格里插入n-2*k个数，很简单的一个组合数嘛。

所以最终式子就是

,化简一下就是

，Ck表示第k个卡特兰数。

另外学到了几个小知识：

1.预处理阶乘的逆元的时候，求出了frac[i]的逆元ny[i]，那么ny[i-1] = ny[i]  * (i+1)，这样只要求出frac
的逆元就可以线性逆推求逆元了，复杂度O(n+log)。

2.求卡特兰数的另一种方法，可以用两个组合数来求：

,这样的话可以少求一些东西，写代码的时候就会明白了，很方便。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
#define f(i, x, y) for (int i=x; i<=y; i++)

typedef long long LL;
const int N = 1e6 + 10;
const LL mod = 1e9 + 7;
int T,n;
LL ans, frac[N+10], ny[N+10];

inline int exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y){
if ( b == 0 ) {
x = 1; y = 0;
return a;
}
int ret = exgcd(b, a%b, x, y);
LL t = x;
x = y;
y = t - (a/b) * y;
return ret;
}

LL calc_catalan(int k){
LL tmp1, tmp2 ,ret;
tmp1 = frac[ k + k ] * ny[k] % mod * ny[k] % mod;
tmp2 = frac[ k + k ] * ny[ k - 1 ] % mod * ny[ k + 1 ] % mod;
ret = tmp1 - tmp2 ;
for ( ; ret < 0 ; ret += mod );
return ret;
}

int main(){
freopen("move.in", "r", stdin);
freopen("move.out", "w", stdout);
scanf("%d\n", &T);
frac[0] = 1; f(i, 1, N) frac[i] = frac[i-1] * i % mod;
LL y;
exgcd(frac
, mod, ny
, y);
for (int i=N-1;i>=0;i--) ny[i] = ny[i+1] * (i+1)  % mod;

while (T--) {
scanf("%d\n", &n);
ans=0;
LL tmp1, tmp2;
f(k, 0, n/2){
tmp1 = frac
* ny[ k + k ] % mod * ny[ n - k - k ] % mod;
tmp2 = calc_catalan( k );
(ans += tmp1 * tmp2 ) %= mod;
}
printf("%I64d\n", ans);
}
return 0;
}