欧几里得算法及其应用

本文为学习算法设计与分析基础第三版的阅读笔记

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。

方法：

反复利用下列等式，直到a%b=0（假设a>b)

gcd(a,b)=gcd(b,a%b)....=gcb(r,0)=r

r即为所求的最大公约数。

证：

a>b 故可设： a=kb+d

设最大公约数为 r

则必定有 a/r b/r d/r为整数，所以可以转换成求b与d的最大公约数。而d=a%b 

故有gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

证毕

应用：

欧几里得游戏

开始的时候，板上有两个不相等的正整数。两个玩家交替行动，每次行动，当前玩家都必须在板上写出任意两个已经出现在板上的数字的差而且这个数字必须是新的，也就是说，和板上任何一个已有的数字都不能相同。当玩家再也写不出新数字时，他就输了。请问，你是选择先行动还是后行动呢？

两个不同的正整数之间的关系有最大公因数和最小公倍数。由于是减法，故考虑最大公因数。

假设最大公约数为：r
较大整数：a*r 较小整数：b*r

两者相减必定为r的倍数，且a,b一定互质

最后一个出现在板上的数有a个

故总共的行动次数为a-2

a为奇数时行动步数为奇
故先行胜

a为偶数时行动步数为偶
故后行胜