棋盘问题 BNUOJ 1440

（注：本题是基础的dfs题目，也是略有技巧性的dfs题目，所以详细解读一下dfs的过程）

棋盘问题

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问题描述：

在一个给定形状的棋盘（形状可能是不规则的）上面摆放棋子，棋子没有区别。要求摆放时任意的两个棋子不能放在棋盘中的同一行或者同一列，请编程求解对于给定形状和大小的棋盘，摆放k个棋子的所有可行的摆放方案C。

Input

输入含有多组测试数据。

每组数据的第一行是两个正整数，n k，用一个空格隔开，表示了将在一个n*n的矩阵内描述棋盘，以及摆放棋子的数目。 n <= 8 , k <= n

当为-1 -1时表示输入结束。

随后的n行描述了棋盘的形状：每行有n个字符，其中 # 表示棋盘区域， . 表示空白区域（数据保证不出现多余的空白行或者空白列）。

Output

对于每一组数据，给出一行输出，输出摆放的方案数目C （数据保证C<2^31）。

Sample Input

2 1
#.
.#
4 4
...#
..#.
.#..
#...
-1 -1

Sample Output

2
1

问题分析：

看到这个题目，第一反应就是dfs遍历求解，事实证明这是正确的。

那么接下来，问题就变成了解决以下几个难点：

1. 如何保证不重行，不重列。

2. 当k < n的时候，如何从这n行数据棋盘数据中，首先挑出有棋盘区域的行，再挑出选用其中的那几行。

首先，当k=n的时候，那么必然每一行都会用到一个数据，也就是说除非棋盘每一行都有棋盘区域，否则不可能有摆放位置。当k < n时候，需要从n行棋盘中，首先挑出有棋盘区域的m行，再从m行中选出k行来放棋子。这里会涉及一个组合的生成C(m, k)。当解决了组合数的问题后，就是保证不重行不重列的问题。初步设想是给棋盘位置设置一个vis数组，用来标记，然后通过：

bool conflict(int x, int y)
{
for(int i=0; i<n; i++)
{
if(vis[x][i]==1)
return true;
}
for(int i=0; i<n; i++)
{
if(vis[i][y]==1)
return true;
}
return false;
}

来返回是否冲突。

看起来似乎一切顺利……

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然而！

最重要的问题，从哪儿开始dfs？？？！

问题源于上面的组合，当k < n 的时候，有些行是不使用的，那dfs可能就要通过循环控制起点，但是，这势必会造成极差的时间复杂度，而且一定会进行大量的重复子问题计算。

所以，上述方法不成立。

换思路。

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既然判断从哪儿dfs开始很困难，换句话说，也就是选择dfs(x, y)的参数a和b很困难。这说明，这道题dfs的参数根本就不应该是坐标！！！

那是什么？

我们在这里采用分治的思想，把问题一步一步拆分成子问题。

要解决k个棋子的问题，也就是要解决k-1个棋子的子问题再乘以第k个棋子的方法数；要解决k-1个棋子的问题，也就是要解决k-2个棋子的子问题…………如此递归下去，直至要解决0个棋子的问题的时候，就是到终点要return的时候了。

那么，我们换一种方法控制不充行，不重列。

首先，dfs的经典三层结构是亘古不变的真理：

dfs()
{
if条件判断——（到终点）
{
操作……
return;
}
if……省略一些条件判断（剪枝优化，比如一些没必要的continue或者计算过的子问题的标记备忘录直接存取）
for()
if……满足条件的筛选
修改标记；
dfs();
改回标记；
}

(注：有些情况下是不需要dfs三层结构第三层：改回标记 这一操作的，见bnuoj12921或bnuoj1681, 这种情况多是因为：

需要遍历全部满足题意的点，是纯粹的深度优先搜索遍历全部可走点）

从这个角度出发，我们思考一下：

首先，return的条件是什么？肯定是到终点了，所以肯定需要进行一些操作，比如某个count++，然后return

if条件判断，剪枝优化，毕竟dfs……毕竟递归……能优化尽量优化……

接下来是dfs递归的核心部分：

我们不妨从第0行开始，这时候需要处理的是k个棋子，对第0行遍历，找到一个满足题意的‘#’区域后，我们知道以后这一列都不能用了，我们vis数组可以只建立为一维数组，只存储用过的行就可以，然后深层搜索，即dfs，这时候，我们就要从第1行开始搜索了（正因为这样，vis才不用存储行是否用过的冲突问题），此时需要处理的是k-1个棋子，我们同样是对第1行所有元素都遍历，找‘#’，只不过对于之前vis标记过得那一列，我们也不选用，找到后，再次标记，然后dfs……………………dfs进入第i行，对第i行遍历，当前需要处理的是k-i个棋子的问题，筛掉非棋盘区域和之前标记过得列，找到’#’，标记，然后dfs()………………知道某一次dfs进入后，发现当前处理棋子数量为0，说明到头了，这是找到了一种方法 ，count++，return，假设这是第一次return，那么将返回到第k-1行，继续寻找满足的‘#’，重复…………知道某一次return会到第0行了，那么，将从第1行继续作为dfs的第一次起始，这就相当于改变控制了dfs起始的位置。

下面附上代码：

/**
*
* name: Board problem
* P_ID: bnuoj 1440
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

int n, k, ans;
char str[10][10];
int vis[100];

void dfs(int r, int k)
{
if(k==0)
{
ans++;
return;
}

for(int i=r; i<n; i++)
{
for(int j=0; j<n; j++)
{
if(str[i][j]=='.' || vis[j]==1) continue;
vis[j] = 1;
dfs(i+1, k-1);
vis[j] = 0;
}
}
}

int main()
{
while(1)
{
scanf("%d %d", &n, &k);
if(n==-1 && k==-1) break;
memset(str, '\0', sizeof(str));
memset(vis, 0, sizeof(vis));
ans = 0;
/*
for(int i=0; i<n; i++)
scanf("%s", str[i]);
*/
getchar();
for(int i=0; i<n; i++)
{
for(int j=0; j<n; j++)
str[i][j] = getchar();
getchar();
}

dfs(0, k);
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}

这道题目告诉了我们一个道理………………对于dfs来说，每次dfs传递的参数，往往是显示和决定思路的关键。