BZOJ3625: [Codeforces Round #250]小朋友和二叉树

Description

我们的小朋友很喜欢计算机科学，而且尤其喜欢二叉树。
考虑一个含有n个互异正整数的序列c[1],c[2],...,c
。如果一棵带点权的有根二叉树满足其所有顶点的权值都在集合{c[1],c[2],...,c
}中，我们的小朋友就会将其称作神犇的。并且他认为，一棵带点权的树的权值，是其所有顶点权值的总和。
给出一个整数m，你能对于任意的s(1<=s<=m)计算出权值为s的神犇二叉树的个数吗？请参照样例以更好的理解什么样的两棵二叉树会被视为不同的。
我们只需要知道答案关于998244353(7*17*2^23+1,一个质数)取模后的值。

Input

第一行有2个整数 n,m(1<=n<=10^5; 1<=m<=10^5)。
第二行有n个用空格隔开的互异的整数 c[1],c[2],...,c
（1<=c[i]<=10^5)。

Output

输出m行，每行有一个整数。第i行应当含有权值恰为i的神犇二叉树的总数。请输出答案关于998244353(=7*17*2^23+1,一个质数)取模后的结果。

Sample Input

样例一：

2 3

1 2

样例二：

3 10

9 4 3

样例三：

5 10

13 10 6 4 15

Sample Output

样例一：

1

3

9

样例二：

0

0

1

1

0

2

4

2

6

15

样例三：

0

0

0

1

0

1

0

2

0

5

HINT

对于第一个样例，有9个权值恰好为3的神犇二叉树：



这个星期努力学了学多项式和生成函数。
设F[x]表示和为x的二叉树的数量，则F[i]=∑C[j]*F[k]*F[i-j-k]
设F[x]的生成函数为F，C[x]的生成函数为C。
则F=F^2*C+1，然后套用求根公式得出F=2/(1+-sqrt(1-4C))，因为多项式可逆的条件是常数项可逆，所以F=2/(1+sqrt(1-4C))。
然后就是多项式求逆开平方了。

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,s,t) for(int i=s;i<=t;i++)
#define dwn(i,s,t) for(int i=s;i>=t;i--)
#define ren for(int i=first[x];i;i=next[i])
using namespace std;
const int BufferSize=1<<16;
char buffer[BufferSize],*head,*tail;
inline char Getchar() {
if(head==tail) {
int l=fread(buffer,1,BufferSize,stdin);
tail=(head=buffer)+l;
}
return *head++;
}
inline int read() {
int x=0,f=1;char c=Getchar();
for(;!isdigit(c);c=Getchar()) if(c=='-') f=-1;
for(;isdigit(c);c=Getchar()) x=x*10+c-'0';
return x*f;
}
typedef long long ll;
const int p=998244353;
const int maxn=300010;
const int G=3;
const ll inv2=499122177;
ll pow(ll n,ll m) {
ll ans=1;
for(;m;m>>=1,(n*=n)%=p) if(m&1) (ans*=n)%=p;
return ans;
}
int wn[20];
void NTT(int* A,int len,int t) {
int j=len>>1,c=0;
rep(i,1,len-2) {
if(i<j) swap(A[i],A[j]);int k=len>>1;
while(j>=k) j-=k,k>>=1;j+=k;
}
for(int i=2;i<=len;i<<=1) {
c++;
for(int j=0;j<len;j+=i) {
int w=1;
for(int k=j;k<j+(i>>1);k++) {
int u=A[k],t=(ll)w*A[k+(i>>1)]%p;
A[k]=(u+t)%p;A[k+(i>>1)]=(u-t+p)%p;
w=((ll)w*wn[c])%p;
}
}
}
if(t<0) {
int inv=pow(len,p-2);
rep(i,1,len/2-1) swap(A[i],A[len-i]);
rep(i,0,len-1) A[i]=((ll)A[i]*inv)%p;
}
}
int T[maxn];
void getinv(int* A,int* B,int n) {
if(n==1) {B[0]=pow(A[0],p-2);return;}
getinv(A,B,n>>1);int len=n<<1;
rep(i,0,n-1) T[i]=A[i],T[i+n]=0;
NTT(B,len,1);NTT(T,len,1);
rep(i,0,len-1) B[i]=(ll)B[i]*(2-(ll)B[i]*T[i]%p+p)%p;
NTT(B,len,-1);rep(i,n,len-1) B[i]=0;
}
int revB[maxn];
void getsqrt(int* A,int* B,int n) {
if(n==1) {B[0]=1;return;}
getsqrt(A,B,n>>1);int len=n<<1;
rep(i,0,n-1) revB[i]=0;
getinv(B,revB,n);
rep(i,0,n-1) T[i]=A[i],T[i+n]=0;
NTT(B,len,1);NTT(T,len,1);NTT(revB,len,1);
rep(i,0,len-1) B[i]=(ll)inv2*(B[i]+(ll)T[i]*revB[i]%p)%p;
NTT(B,len,-1);rep(i,n,len-1) B[i]=0;
}
int A[maxn],B[maxn],ans[maxn];
int main() {
rep(i,1,19) wn[i]=pow(G,(p-1)/(1<<i));
int n=read(),m=read(),len=1;
while(len<=m) len<<=1;
A[0]=1;
rep(i,0,n-1) {
int x=read();
if(x<=m) A[x]-=4;
if(A[x]<0) A[x]+=p;
}
getsqrt(A,B,len);(++B[0])%=p;
getinv(B,ans,len);
rep(i,1,m) printf("%d\n",ans[i]*2%p);
return 0;
}