BZOJ1057 [ZJOI2007]棋盘制作（极大化思想）

1057: [ZJOI2007]棋盘制作
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Description
国际象棋是世界上最古老的博弈游戏之一，和中国的围棋、象棋以及日本的将棋同享盛名。据说国际象棋起源于易经的思想，棋盘是一个8*8大小的黑白相间的方阵，对应八八六十四卦，黑白对应阴阳。而我们的主人公小Q，正是国际象棋的狂热爱好者。作为一个顶尖高手，他已不满足于普通的棋盘与规则，于是他跟他的好朋友小W决定将棋盘扩大以适应他们的新规则。小Q找到了一张由N*M个正方形的格子组成的矩形纸片，每个格子被涂有黑白两种颜色之一。小Q想在这种纸中裁减一部分作为新棋盘，当然，他希望这个棋盘尽可能的大。不过小Q还没有决定是找一个正方形的棋盘还是一个矩形的棋盘（当然，不管哪种，棋盘必须都黑白相间，即相邻的格子不同色），所以他希望可以找到最大的正方形棋盘面积和最大的矩形棋盘面积，从而决定哪个更好一些。于是小Q找到了即将参加全国信息学竞赛的你，你能帮助他么？
Input
第一行包含两个整数N和M，分别表示矩形纸片的长和宽。接下来的N行包含一个N * M的01矩阵，表示这张矩形纸片的颜色（0表示白色，1表示黑色）。
Output
包含两行，每行包含一个整数。第一行为可以找到的最大正方形棋盘的面积，第二行为可以找到的最大矩形棋盘的面积（注意正方形和矩形是可以相交或者包含的）。
Sample Input
3 3

1 0 1

0 1 0

1 0 0
Sample Output
4

6
HINT
对于100%的数据，N, M ≤ 2000
Source

【思路】

极大化思想。

题目的第一问是经典的DP问题。

对于第二问，我们用极大化的思想求解。设悬线up[i][j]表示ij可向上延伸的最大值，L[i][j]表示ij悬线可向左延伸的最大下标，R同理。对于每一行从左向右扫描一遍，维护最靠右的不可延伸处的下标同时递推L，类似地求解R。

显然，当我们求解第二问的时候同时维护最大边长也可以解决第一问。

关于递推式：

If G[i][j]==G[i-1][j]

Up[i][j]=1;

L[i][j]=(I,j) 向左可延伸的最大下标lo。

R[i][j]=(I,j) 向右可延伸的最小下标ro。

Else

Up[i][j]=up[i-1][j]+1

L[i][j]=max(L[i-1][j],lo);

R[i][j]=min(R[i-1][j],ro);

【代码】

1 #include<iostream>
2 #include<cstdio>
3 #include<cstring>
4 using namespace std;
5
6 const int maxn = 2000+10;
7
8 int w[maxn][maxn];
9 int n,m;
10
11 int read_int() {
12     char c=getchar();
13     while(!isdigit(c)) c=getchar();
14     int x=0;
15     while(isdigit(c)) {
16         x=x*10+c-'0';
17         c=getchar();
18     }
19     return x;
20 }
21
22 /*
23 inline bool can(int i,int j) {
24      return (w[i][j]^w[i-1][j-1]==0 && w[i-1][j]^w[i][j-1]==0 && w[i][j]!=w[i-1][j]);
25 }
26 int d[maxn][maxn];
27 void get_ans1() {
28     int ans=0;
29     for(int i=1;i<=n;i++)
30        for(int j=1;j<=m;j++)
31        {
32               d[i][j]=1;
33               if(i>1 && j>1 && can(i,j))
34               {
35                     d[i][j]+=min(d[i-1][j-1],min(d[i-1][j],d[i][j-1]));
36                     ans=max(ans,d[i][j]*d[i][j]);
37               }
38        }
39     cout<<ans<<"\n";
40 }
41 */
42
43 int L[maxn][maxn],up[maxn][maxn],R[maxn][maxn];
44 void get_ans() {
45     int ans1=0,ans2=0;
46     for(int i=1;i<=n;i++)
47     {
48         int lo=0, ro=m+1;
49         for(int j=1;j<=m;j++)
50         {
51             if(j==1 || w[i][j-1]==w[i][j]) lo=j;
52             if(i==1 || w[i][j]==w[i-1][j]) up[i][j]=1,L[i][j]=lo;
53             else {
54                 up[i][j]=up[i-1][j]+1;
55                 L[i][j]=max(L[i-1][j],lo);
56             }
57         }
58         for(int j=m;j;j--)
59         {
60             if(j==m || w[i][j+1]==w[i][j]) ro=j;
61             if(i==1 || w[i][j]==w[i-1][j]) R[i][j]=ro;
62             else {
63                 R[i][j]=min(R[i-1][j],ro);
64                 ans1=max(ans1,min(up[i][j],R[i][j]-L[i][j]+1));
65                 ans2=max(ans2,up[i][j]*(R[i][j]-L[i][j]+1));
66             }
67         }
68     }
69     cout<<ans1*ans1<<"\n";
70     cout<<ans2<<"\n";
71 }
72 int main() {
73
74     n=read_int(); m=read_int();
75
76     for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) w[i][j]=read_int();
77
78     get_ans();
79
80     return 0;
81 }

PS:关于极大化思想，详可参见王知昆《浅谈用极大化思想解决最大子矩形问题》