Leftist Heaps

问题背景

如果使用original heaps的数据结构，合并两个堆需要Θ(n)的时间，等同于建立一个新的堆的时间，并且拷贝操作需要额外的空间。

我们可以用Leftist Heaps实现时间复杂度为O(n)的更有效率的合并。

NPL的引入

1. 定义：null path length，该节点到一个没有两个儿子的节点的最短路径的长度。规定NPL(NULL)=-1。

2. 推论：NPL(X)= min(NPL(X的儿子))+1（对任意节点包括没有两个儿子的节点成立）。

Leftist Heaps定义

满足original heaps优先级要求（即每个节点的优先级大于它的所有子节点的优先级），并且每一个节点左子树NPL值不小于右子树的NPL值。

Leftist Heaps特点

1. Leftist
Heaps是一种便于merge的数据结构。

2.Leftist Heaps是一种不平衡的数据结构。

3. Leftist Heaps不仅要存储节点元素值，还要存储NPL，不再能用数组实现。

4. Leftist
Heaps的任意子树也是Leftist Heaps（从定义可知）。

5. Leftist
Heaps的right path（右侧路径）上节点数不大于任何路径上的节点数（right path是从根节点开始，不断前往右子节点构成的路径）。

6.
如果一个Leftist Heap的right
path上有r个节点，那么该Leftist Heap至少有2^r-1个节点（数学归纳可以证明）。也就是说如果一个Leftist
Heap有N个节点，那么该Leftist Heap的右侧路径至多有log(N+1)个节点。对right
path进行操作，时间复杂度是O(logN)。

Leftist
Heaps的merge操作（重点）

时间复杂度：O(logN)。

递归实现的步骤如下：（实际C语言实现中分为合并的驱动函数和合并的实际操作函数，具体见后面的实现）

1. 如果一个空左倾堆和一个非空左倾堆合并，返回非空左倾堆（递归中的base
case）。

2. 如果两个左倾堆都非空，那么比较两个根节点。取较小的节点为新的根节点（为了符合堆的优先级要求），合并较小根节点堆的右子堆和较大根节点堆。

3. 如果右子堆NPL大于左子堆NPL，交换右子堆和左子堆。

4. 更新根节点的NPL=右子堆NPL+1。



非递归实现的步骤如下：

1、把所有节点的右子树分离出来。

2、把分离出来的子树按根节点元素升序（广义上的升序）排列。

3、从后向前，把最
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后一个树作为倒数第二个树的左子树，检查倒数第二个树左右子树NPL是否满足要求，若不满足，把倒数第二个树左右子树交换。

（可以用栈实现，如果降序排列的话就可以用堆实现）

其他建立在合并操作上的操作：

插入看做是原倾堆和一个节点的左倾堆的合并。

删除看做是删除根节点，将剩余的左右子堆合并。（复习：堆的删除操作特指删除根节点，即得到优先级最高的元素）

Leftist Heaps总体思想

1. Leftist Heaps通过不平衡的节点分布，让right
path保持较短状态，把合并操作建立在对right path操作上，提高合并效率。

2.
在合并过程中，通过左右子树互换来保持”左倾“的性质。

Reference

纸上谈兵: 左倾堆 (leftist heap)

左堆（Leftist Heaps）（举例图解很清楚明白）