欧几里德算法求最大公约数

欧几里德算法求最大公约数

求最大公约数，貌似最近考得有点多，写篇博客记录下。如有错误或者不足，欢迎交流讨论。

1. 原理

2. 具体代码实现

原理

欧几里德算法，又称辗转相除法，用公式表示即为gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)，其中a>b，mod为取余运算。

证明(还是来自百度)：

a可以表示成a = kb + r（a，b，k，r皆为正整数），则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数，记作d|a,d|b，即a和b都可以被d整除。

而r = a - kb，两边同时除以d，r/d=a/d-kb/d=m，等式左边可知m为整数，因此d|r

因此d也是（b,a mod b）的公约数

因此（a,b）和（b,a mod b）的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

代码实现

Java实现

package internetCorporationRecruiting;

import java.util.Scanner;
/**
* 欧几里德算法
* @author 小锅巴
* @date 2016年3月29日下午8:44:40
* http://blog.csdn.net/xiaoguobaf */
public class gcd {
//从gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)可以看出这是个递归定义，先实现递归版本
public static int gcd_1(int a, int b){
if(a < b){
a ^= b;
b ^= a;
a ^= b;
}

if(b == 0)
return a;//递归结束判断条件，若a%b等于0，则最大公约就是a
else
return gcd_1(b, a%b);
}

//非递归版本
public static int gcd_2(int a, int b){
if(a < b){
a ^= b;
b ^= a;
a ^= b;
}
while(b > 0){
int temp = b;
b = a % b;
a = temp;
}
return a;
}
//单元测试
public static void main(String[] args){
System.out.println("请输入两个整数：");
Scanner s = new Scanner(System.in);
int a = s.nextInt();
int b = s.nextInt();
System.out.println(a+"和"+b+"的最大公约数是："+gcd_1(a, b));
System.out.println(a+"和"+b+"的最大公约数是："+gcd_2(a, b));
}
}

在eclipse中的执行情况，注意每次输入一个数要回车



C实现

#include<stdio.h>
//递归版本
int gcd_1(int a, int b){
//确保a>=b
if(a < b){
a ^= b;
b ^= a;
a ^= b;
}
//设a=nb+r，r = a mod b,r=0时,显然b就是公约数
if(b == 0)
return a;
else
return gcd_1(b, a % b);
}

//非递归版本
int gcd_2(int a, int b){
if(a < b){
a ^= b;
b ^= a;
a ^= b;
}

while(b>0){
int Rem = a % b;
a = b;
b = Rem;
}
return a;
}
void main(){
int a, b;
printf("请输入两个数：\n");
scanf("%d,%d",&a,&b);
printf("他们的最大公约数是：%d\n",gcd_1(a,b));
printf("他们的最大公约数是：%d\n",gcd_2(a,b));
return 0;
}

通过CodeBlocks运行