狄拉克δ函数的导数

原文见 Physics Pages

狄拉克δ函数的图像像个钉子，如下图所示，谈论他的导数好像比较奇怪。



δ函数

我们从狄拉克δ函数的积分性质开始它的导数。狄拉克δ函数具有如下性质：

\begin{equation}

\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x)\mathrm dx=f(0)

\label{eq1}

\end{equation}

狄拉克δ函数的\(n\)阶导数为\(\delta^{(n)}(x)\)，做如下分部积分

\begin{equation}

\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta^{(n)}(x)\mathrm dx=f(x)\delta^{(n-1)}(x)\big\lvert_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty} f'(x)\delta^{(n-1)}(x)\mathrm dx

\label{eq2}

\end{equation}

第一项是0，因为狄拉克δ函数在\(x\neq 0\)的地方是常数0，因此导数也为0。于是我们有

\begin{equation}

\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta^{(n)}(x)\mathrm dx=-\int_{-\infty}^{\infty} f'(x)\delta^{(n-1)}(x)\mathrm dx

\label{eq3}

\end{equation}

上式对任意函数\(f(x)\)都成立，因此两边被积函数相等，

\begin{equation}

f(x)\delta^{(n)}(x)\mathrm dx=- f'(x)\delta^{(n-1)}(x)\mathrm dx

\label{eq4}

\end{equation}

对于一阶导数有

\begin{equation}

f(x)\delta'(x)\mathrm dx=- f'(x)\delta(x)\mathrm dx

\label{eq5}

\end{equation}

如果\(f(x)=x\)，有

\begin{equation}

x\delta'(x)\mathrm dx=- \delta(x)\mathrm dx

\label{eq6}

\end{equation}

将\eqref{eq4}迭代下去，得

\begin{equation}

f(x)\delta^{(n)}(x)\mathrm dx=(-1)^n \delta(x)\prod_{k=1}^nf^{(k)}(x)

\label{eq7}

\end{equation}

例1 令\(f(x)=4x^2-1\)，有

\begin{equation}

\int_{-\infty}^{\infty} (4x^2-1)\delta'(x-3)\mathrm dx=-\int_{-\infty}^{\infty} 8x\delta(x-3)\mathrm dx=-24

\label{eq8}

\end{equation}

例2 令\(f(x)=x^n\)，由\eqref{eq7}式有

\begin{equation}

x^n\delta^{(n)}(x)\mathrm dx=(-1)^n n!\delta(x)

\label{eq9}

\end{equation}