寻找二叉树两个节点的最低公共祖先
2016-03-24 10:18
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给定一棵树,同时给出树中的两个结点(n1和n2),求它们的最低公共祖先。也就是常见的LCA(Lowest Common Ancestor )问题
下面是一个简单的复杂度为 O(n) 的算法,解决LCA问题
1) 找到从根到n1的路径,并存储在一个向量或数组中。
2)找到从根到n2的路径,并存储在一个向量或数组中。
3) 遍历这两条路径,直到遇到一个不同的节点,则前面的那个即为最低公共祖先.
下面的C++的程序实现
输出:
时间复杂度: O(n), 树被遍历了两次,每次遍历复杂度不超过n,然后比较路径。
上面的方法虽然是O(n),但是操作依然繁琐了一点,并且需要额外的空间来存储路径。其实可以只遍历一次,利用递归的巧妙之处。学好二叉树,其实就是学好递归。
从root开始遍历,如果n1和n2中的任一个和root匹配,那么root就是LCA。 如果都不匹配,则分别递归左、右子树,如果有一个 key(n1或n2)出现在左子树,并且另一个key(n1或n2)出现在右子树,则root就是LCA. 如果两个key都出现在左子树,则说明LCA在左子树中,否则在右子树。
时间复杂度为O(n),但是上面的方法还是有所局限的,必须保证两个要查找的节点n1和n2都出现在树中。如果n1不在树中,则会返回n2为LCA,理想答案应该为NULL。要解决这个问题,可以先查找下 n1和n2是否出现在树中,然后加几个判断即可。
方法一
下面是一个简单的复杂度为 O(n) 的算法,解决LCA问题1) 找到从根到n1的路径,并存储在一个向量或数组中。
2)找到从根到n2的路径,并存储在一个向量或数组中。
3) 遍历这两条路径,直到遇到一个不同的节点,则前面的那个即为最低公共祖先.
下面的C++的程序实现
01 | // O(n) 解决 LCA |
02 | #include <iostream> |
03 | #include <vector> |
04 | using namespace std; |
05 |
06 | //二叉树节点 |
07 | struct Node |
08 | { |
09 | int key; |
10 | struct Node *left, *right; |
11 | }; |
12 | //公用函数,生成一个节点 |
13 | Node * newNode( int k) |
14 | { |
15 | Node *temp = new Node; |
16 | temp->key = k; |
17 | temp->left = temp->right = NULL; |
18 | return temp; |
19 | } |
20 | //找到从root到 节点值为key的路径,存储在path中。没有的话返回-1 |
21 | bool findpath(Node * root,vector< int > &path, int key){ |
22 | if (root == NULL) return false ; |
23 | path.push_back(root->key); |
24 | if (root->key == key) return true ; |
25 | //左子树或右子树 是否找到,找到的话当前节点就在路径中了 |
26 | bool find = ( findpath(root->left, path, key) || findpath(root->right,path ,key) ); |
27 | if (find) return true ; |
28 | //该节点下未找到就弹出 |
29 | path.pop_back(); |
30 | return false ; |
31 | } |
32 |
33 | int findLCA(Node * root, int key1, int key2){ |
34 | vector< int > path1,path2; |
35 | bool find1 = findpath(root, path1, key1); |
36 | bool find2 = findpath(root, path2, key2); |
37 | if (find1 && find2){ |
38 | int ans ; |
39 | for ( int i=0; i<path1.size(); i++){ |
40 | if (path1[i] != path2[i]){ |
41 | break ; |
42 | } else |
43 | ans = path1[i]; |
44 | } |
45 | return ans; |
46 | } |
47 | return -1; |
48 | } |
49 |
50 | // Driver program to test above functions |
51 | int main() |
52 | { |
53 | // 按照上面的图来创创建树 |
54 | Node * root = newNode(1); |
55 | root->left = newNode(2); |
56 | root->right = newNode(3); |
57 | root->left->left = newNode(4); |
58 | root->left->right = newNode(5); |
59 | root->right->left = newNode(6); |
60 | root->right->right = newNode(7); |
61 | cout << "LCA(4, 5) = " << findLCA(root, 4, 5); |
62 | cout << "\nLCA(4, 6) = " << findLCA(root, 4, 6); |
63 | cout << "\nLCA(3, 4) = " << findLCA(root, 3, 4); |
64 | cout << "\nLCA(2, 4) = " << findLCA(root, 2, 4); |
65 | return 0; |
66 | } |
1 | LCA(4, 5) = 2 |
2 | LCA(4, 6) = 1 |
3 | LCA(3, 4) = 1 |
4 | LCA(2, 4) = 2 |
第二种方法(只遍历一次)
上面的方法虽然是O(n),但是操作依然繁琐了一点,并且需要额外的空间来存储路径。其实可以只遍历一次,利用递归的巧妙之处。学好二叉树,其实就是学好递归。从root开始遍历,如果n1和n2中的任一个和root匹配,那么root就是LCA。 如果都不匹配,则分别递归左、右子树,如果有一个 key(n1或n2)出现在左子树,并且另一个key(n1或n2)出现在右子树,则root就是LCA. 如果两个key都出现在左子树,则说明LCA在左子树中,否则在右子树。
01 | /* 只用一次遍历解决LCA */ |
02 | #include <iostream> |
03 | using namespace std; |
04 | struct Node |
05 | { |
06 | struct Node *left, *right; |
07 | int key; |
08 | }; |
09 | Node* newNode( int key) |
10 | { |
11 | Node *temp = new Node; |
12 | temp->key = key; |
13 | temp->left = temp->right = NULL; |
14 | return temp; |
15 | } |
16 |
17 | // 返回n1和n2的 LCA的指针 |
18 | // 假设n1和n2都出现在树中 |
19 | struct Node *findLCA( struct Node* root, int n1, int n2) |
20 | { |
21 | if (root == NULL) return NULL; |
22 |
23 | // 只要n1 或 n2 的任一个匹配即可 |
24 | // (注意:如果 一个节点是另一个祖先,则返回的是祖先节点。因为递归是要返回到祖先的 ) |
25 | if (root->key == n1 || root->key == n2) |
26 | return root; |
27 | // 分别在左右子树查找 |
28 | Node |
29 | Node |
30 | // 如果都返回非空指针 Non-NULL, 则说明两个节点分别出现了在两个子树中,则当前节点肯定为LCA |
31 | if (left_lca && right_lca) return root; |
32 | // 如果一个为空,在说明LCA在另一个子树 |
33 | return (left_lca != NULL)? left_lca: right_lca; |
34 | } |
35 |
36 | //测试 |
37 | int main() |
38 | { |
39 | // 构造上面图中的树 |
40 | Node * root = newNode(1); |
41 | root->left = newNode(2); |
42 | root->right = newNode(3); |
43 | root->left->left = newNode(4); |
44 | root->left->right = newNode(5); |
45 | root->right->left = newNode(6); |
46 | root->right->right = newNode(7); |
47 | cout << "LCA(4, 5) = " << findLCA(root, 4, 5)->key; |
48 | cout << "\nLCA(4, 6) = " << findLCA(root, 4, 6)->key; |
49 | cout << "\nLCA(3, 4) = " << findLCA(root, 3, 4)->key; |
50 | cout << "\nLCA(2, 4) = " << findLCA(root, 2, 4)->key; |
51 | return 0; |
52 | } |
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