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求解一个数组的子数组最大和的三种算法（转载）

2016-03-23 21:07 302 查看

方法一：暴力枚举法

此种方法最简单，我想应该也是每个人拿到题目想到的第一种解法了，学过一点编程的人都应该能编出此类程序。
记sum[i..j]为数组中第i个元素到第j个元素的和（其中0<=i<j<=n-1），通过遍历所有的组合之和，就能找到最大的一个和了。
伪代码如下：

int maxSubArray(int *A,int n) {
int maxium = -INF; //保存最大子数组之和
for i=0 to n-1 do
sum = 0; //sum记录第i到j的元素之和
for j=i to n-1 do
sum += A[j];
if sum>maxium do //更新最大值
maxium = sum;
return maxium;
}

此种方法的时间复杂度为O(n2)，显然不是一种很好的办法，也不是公司面试希望你写出这样的程序的。

方法二：分支界定
这里再介绍一种更高效的算法，时间复杂度为O(nlogn)。这是个分治的思想，解决复杂问题我们经常使用的一种思维方法——分而治之。
而对于此题，我们把数组A[1..n]分成两个相等大小的块：A[1..n/2]和A[n/2+1..n]，最大的子数组只可能出现在三种情况：
A[1..n]的最大子数组和A[1..n/2]最大子数组相同；
A[1..n]的最大子数组和A[n/2+1..n]最大子数组相同；
A[1..n]的最大子数组跨过A[1..n/2]和A[n/2+1..n]
前两种情况的求法和整体的求法是一样的，因此递归求得。
第三种，我们可以采取的方法也比较简单，沿着第n/2向左搜索，直到左边界，找到最大的和maxleft，以及沿着第n/2+1向右搜索找到最大和maxright，那么总的最大和就是maxleft+maxright。
而数组A的最大子数组和就是这三种情况中最大的一个。
伪代码如下：

int maxSubArray(int *A,int l,int r) {
if l<r do
mid = (l+r)/2;
ml = maxSubArray(A,l,mid); //分治
mr = maxSubArray(A,mid+1,r);
for i=mid downto l do
search maxleft;
for i=mid+1 to r do
search maxright;
return max(ml,mr,maxleft+maxright); //归并
then //递归出口
return A[l];
}

方法三：动态规划
这算是一个经典的动态规划的题目了，如果不知道动态规划可以先不去理解这个名词。用通俗点的语言描述这个算法就是：
令cursum(i)表示数组下标以i为起点的最大连续下标最大的和，而maxsum(i)表示前i个元素的最大子数组之和。那么我们就可以推出下一个maxsum(i+1)应该为cursum(i+1)和maxsum(i)中选取一个最大值。递推式为：
cursum(i) = max{A[i],cursum(i-1)+A[i]};
maxsum(i) = max{maxsum(i-1),cursum(i+1)};
伪代码为：

int maxSubArray(int *A,int n) {
cursum = A[0];
maxsum = A[0];
for i=1 to n-1 do
/*当我们加上一个正数时，和会增加；当我们加上一个负数时，和会减少。如果当前得到的和是个负数，那么这个和在接下来的累加中应该抛弃并重新清零，不然的话这个负数将会减少接下来的和。*/
if cursum<0 do
cursum = 0;
cursum += A[i];
if cursum>maxsum do
maxsum = cursum;
return maxsum;
}

这种算法时间复杂度只是O(n)，效果非常好！

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