【bzoj1096】【ZJOI2007】【仓库建设】【斜率优化dp】

Description

L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。 由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据： 工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;  工厂i目前已有成品数量Pi;  在工厂i建立仓库的费用Ci; 请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3

0 5 10

5 3 100

9 6 10

Sample Output

32

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

题解:

设f(i)表示前i个工厂,并且在第i个工厂建仓库的最小费用。

设s(i)为第i个工厂到第1个工厂的距离.

a(i)为工厂i的货物数量。

c(i)为在工厂i建造仓库的费用。

则

f(i)=min(f(i),f(j)+∑k=j+1i(s(i)−s(k))∗a(k)+c(i)

f(i)=min(f(i),f(j)+s(i)∗∑k=j+1ia(k)−∑k=j+1is(k)∗a(k)+c(i))

预处理a(i)和a(i)*s(i)的前缀和.可以做到O(n2)。

代入前缀和的式子显然可以斜率优化。

维护一个下凸壳即可。

时间复杂度O(n);

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 1000010
using namespace std;
int q
,n,l,r;
long long s
,a
,p
,sp
,c
,f
;
long long G(int a,int b){return f[b]-f[a]+sp[b]-sp[a];}
long long S(int a,int b){return p[b]-p[a];}
double work(int a,int b){return G(a,b)*1.0/S(a,b)*1.0;}
int main(){
scanf("%d",&n);
for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld%lld%lld",&s[i],&a[i],&c[i]);
for (int i=1;i<=n;i++) p[i]=p[i-1]+a[i];
for (int i=1;i<=n;i++) sp[i]=sp[i-1]+s[i]*a[i];
for (int i=1;i<=n;i++){
while (l<r&&work(q[l],q[l+1])<s[i]) l++;
f[i]=f[q[l]]+s[i]*(p[i]-p[q[l]])-(sp[i]-sp[q[l]])+c[i];
while (l<r&&work(q[r-1],q[r])>work(q[r],i)) r--;
q[++r]=i;
}
cout<<f
<<endl;
}