树链剖分

这几天学习了一下树链剖分，个人感觉是线段树在树上的应用，也不能算是一种数据结构吧。比较常见的是对树边的修改和查询问题。

问题引入：

如果题目是在一棵树上进行路径的修改、求极值、求和等问题，大家很容易就会想到用线段树来做，但是这就存在一个问题：线段树存储的是一段连续区间上的信息，，而树的结构是分散的，那么怎么把树的节点或者树边和这个区间联系起来呢？树链剖分就可以解决这个问题。

首先，我们来解读一下算法名称：

1、树链，就是树上的路径。

2、剖分，就是把路径分类为重链和轻链。

树链剖分用一句话概括就是：把一棵树剖分为若干条链，然后利用数据结构(树状数组，SBT，Splay，线段树等等)去维护每一条链以解决问题，算法复杂度为O(logn)。

这里需要几个数组来保存树的信息：

　　size[u] 表示以 u 为根的子树的节点数

　　dep[u] 表示 u 的深度(根深度为1)

　　top[u] 表示 u 所在的链的顶端节点

　　fa[u] 表示u的父亲节点

　　son[u] 表示与u在同一重链上的u的儿子节点（姑且称为重儿子）

　　id[u] 表示u与其父亲节点的连边（姑且称为u的父边）在线段树中的位置

　　rank[i] 表示线段树中第 i 个数对应树中的节点编号

涉及到的几个概念：

重儿子：size[v]为u的子节点中size值最大的，那么v就是u的重儿子。
轻儿子：u的其它子节点。
重边：点u与其重儿子的连边。
轻边：点u与其轻儿子的连边。
重链：由重边连成的路径。
轻链：轻边。

剖分后的树有如下性质：

性质1：如果(u,v)为轻边，则size[v] * 2 < size[u]；
性质2：从根到某一点的路径上轻链、重链的个数都不大于logn。

算法实现：

一、首先，我们可以对树进行两遍 dfs 求得以上数组的值

第一次dfs：求出 dep, size, fa, son，记录所有的重边

void dfs_1( int u, int f, int d)    //主函数中调用dfs(1,0,1)
{
dep[u] = d;
size[u] = 1;
fa[u] = f;
for(int i = head[u];i != -1;i = edge[i].next)
{
int v = edge[i].to;
if(v == f)
continue;
dfs_1( v, u, d+1);
size[u] += size[v];
if(son[u] == -1 || size[son[u]] < size[v])
son[u] = v;
}
}

第二次dfs：连接重边成重链

void dfs_2( int u, int tp)     //主函数中调用dfs(1,1)
{
top[u] = tp;
id[u] = ++tmp;
rank[tmp] = u;
if(son[u] != -1)
dfs_2( son[u], tp);
for(int i = head[u];i != -1;i = edge[i].next)
{
int v = edge[i].to;
if(v != fa[u] && v != son[u])
dfs_2( v, v);
}
}

二、然后，建立线段树。将树中的权值在线段树中更新，这样建链和建线段树就完成了。具体实现可以看相关题解。

三、最后，就是修改和查询操作。单点的修改和查询很简单，只要将对应线段树中位置的信息修改或查询即可。重点要讲的是区间上的修改和查询，这两个操作写法类似，以修改为例。

如何修改u到v的边权的值呢？这里有两种情况：

(1)如果u与v在同一条重链上，那么就直接修改了

(2)如果u与v不在同一条重链上，那么就一边进行修改，一边将u与v往同一条重链上靠，这样就变成了第一种情况了

这样问题的关键就变成了如何将 u 和 v 往同一条重链上靠。

具体解法如下：

我们记 tp1 = top[u]，tp2 = top[v]
（1） 当tp1 != tp2 时：不妨设dep[tp1] >= dep[tp2]，那么就更新u到tp1的父边的权值(logn)，并使u = fa[tp1]。
（2）当tp1 = tp2时：u与v在同一条重链上，若u与v不是同一点，就更新u到v路径上的边的权值(logn)，否则修改完成；
重复上述过程，直到修改完成。

算法正确性证明：

　　首先我们需要深入理解一下dfs_2 。可以看出，dfs_2的核心是将树按一条条重链保存到线段树中。在树中同一条重链的节点或边的信息在线段树中是连续的，而且是深度小的保存在前面，深度大的保存在后面，这样线段树中保存的是一段段重链的信息。

　　如果需要修改 u 到 v 的信息，如果u和v不在同一条重链上，我们必定需要分别修改u 和 v 到其所在重链的头结点的信息，重复下去最终 u 到 v 的修改会演变成同一条重链上两个节点间的修改。算法证毕。

区间修改操作举例代码：

void change(int u, int v, int value)
{
int tp1 = top[u], tp2 = top[v];
while(tp1 != tp2)
{
if(dep[tp1] < dep[tp2])
{
swap( tp1, tp2);
swap( u, v);
}
update(1, id[tp1], id[u], value);
u = fa[tp1];
tp1 = top[u];
}
if(u == v)
return;
if(dep[u] > dep[v])
swap( u, v);
update(1, id[u], id[v], value);
}

区间查询操作举例代码：

int find( int u, int v)
{
int tp1 = top[u], tp2 = top[v];
int res = 0;
while(tp1 != tp2)
{
if(dep[tp1] < dep[tp2])
{
swap( tp1, tp2);
swap( u, v);
}
res = max(res, query( 1, id[tp1], id[u]));
u = fa[tp1];
tp1 = top[u];
}
if(u == v)
return res;
if(dep[u] > dep[v])
swap( u, v);
res = max( res, query(1, id[son[u]], id[v]));
return res;
}

以上都是针对树边操作的树链剖分，也有对树的节点进行修改查询的题目，方法类似，只需要在理解的时候改变一下 id 数组的含义：id[ u ]表示 u 节点在线段树中的位置。

当然，如果是对节点的修改和查询，我们就可以用树状数组而不是线段树来保存信息，这样代码会简单很多。

举例：

hdu 3966 /article/5857307.html