hdoj1087 Super Jumping! Jumping! Jumping!（DP）

题意：

  并不是从start一步一步地走、一直走到end然后取最大值这么简单，而是在某一点上可以一次性走N步到达另一个店，比如这里“1”可以直接走到“2”（不过一定是从左到右，不能回头），不过这样的结果只是3了，不是最大值。所以，这是一个DP问题。其实，这是一个求LIS（最长上升子序列）的sum的问题，而这道题是“严格上升”。状态转移方程先写出来，等下再分析：

// origin[]为原数组，dp[]是在origin[]上进行动态规划的数组
// dp[i]表示“走到下标为i的这一点，所能得到的最大值”
// 具体是从左到右遍历，因为题意就是从左往右走，也就只有一条路可走，不能回头

dp[i] = origin[i] + max(dp[j: 1...(i-1)])
// 前提是origin[i]要比origin[j]要大，因为只能往数值更大的点走

可以这样分析出状态转移（图丑了点不要介意……）：



首先，从origin[1]出发，在这个位置所能到达的最大值（为了方便，下面就统称“max”）为1。所以dp[1]=1。

然后，因为origin[2]之前只有origin[1]，而且origin[2]>origin[1]，也就是可以从“1”跳到“3”，所以dp[2] = origin[2] + dp[1] = 3 + 1 = 4。

（之后的情况和2是一样的。）到了origin[3]，因为在它之前，比它小的只有“1”，所以dp[3] = origin[3] + dp[1] = 2 + 1 = 3。

因为origin[4] = 5，比之前的所有origin值都要大，那么它就跟最大的dp值加起来，也就是dp[4] = origin[4] + dp[2] = 5 + 4 = 9。

最后，origin[5] = 4，因为能跳到“4”的只有“1”、“3”、“2”，所以取这三个数中最大的dp值也就是dp[2]，所以dp[5] = origin[5] + dp[2] = 4 + 4 = 8。

最后，得到整个dp数组后，找到最大值（PS：最好是边更新dp边找最大值，这样就不用再遍历一遍。当然两种方法得到的OJ测试时间肯定是一样的，毕竟没有复杂度的差别），注意这里的最大值并不是通常所想的dp
。

代码（46ms, 1804KB）：

#include <iostream>
#include <cstring>      // memset
#include <algorithm>    // max
using namespace std;

const int maxn(1001);
int origin[maxn], dp[maxn];

int main() {
//  freopen("in.txt", "r", stdin);
int n;
while (cin >> n && n != 0) {
memset(dp, 0, sizeof dp);
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
cin >> origin[i];
}

int result(-1);
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
for (int j = i - 1; j >= 0; --j) {
if (origin[i] > origin[j]) {
dp[i] = max(dp[i], dp[j]);
}
}
dp[i] += origin[i];
result = max(result, dp[i]);
}
cout << result << endl;
}
return 0;
}