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个人理解---扩展欧几里德定理

2016-03-22 20:15 253 查看

欧几里德定理：gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

gcd函数的基本性质：
gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|)

定理：对于不完全为 0 的整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数。
那么一定存在整数x，y使得gcd（a，b）= ax +by。而扩展欧几里德算法就是解决已知 a 和 b 求解 x 和 y 的算法；

ax1 + by1 = gcd(a, b)
bx2 + a%by2 = gcd(b, a%b)

因为 gcd(a, b) = gcd(b, a%b),

所以 ax1 + by1 = bx2 + a%by2
= bx2 + (a - a/b * b)y2;
= bx2 + ay2 - a/b * by2;
ax1 + by1 = ay2 + b(x2 - a/b * y2);

因此 x1 = y2;
y1 = x2 - a/b * y2;

同样x2和y2也可通过以上过程实现找到答案，最终递归结束的条件就是b=0了，此时ax + by = gcd(a, 0) = a;所以x=1；（但是y为什么别人都说等于0我就不知道了，我感觉y可以是任意值）；
递归回溯时的x和y相当于上面解释过程中的y2 和 x2；所以我们需要保留原来的x以便于更新下面的y；

LL ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)///返回值是a和b的最大公约数；
{
if(b==0)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
LL c = ex_gcd(b, a%b, x, y);

LL temp = x;      ///回溯中的x相当于之前的x所以要保留；
x = y;            ///对应x1 = y2；
y = temp - a/b*y; ///对应y1 = x2 - a/b * y1；

return c;
}

　　

由于 x 和 y 的值并不是唯一的，而是一个集合，ax+by = gcd(a,b)也可以写成 ax+by+nab-nab = gcd(a, b)（n=0,1,2,3...）即 a(x-nb)+b(y+na)=gcd(a, b);(n=0,1,2,3,4...) 所以x-nb，y+na是对应的答案，我们可以根据题目要求进行选取 n 的大小；

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