bzoj 2705: [SDOI2012]Longge的问题

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#define ll long long
ll n,m,ans;
ll phi(ll a1)
{
ll sum=a1,m=sqrt(a1);
for(ll i=2;i<=m;i++)
if(a1%i==0&&a1)
{
sum=sum/i*(i-1);
for(;a1%i==0;a1/=i);
}
if(a1>1)
sum=sum/a1*(a1-1);
return sum;
}
int main()
{
scanf("%lld",&n);
m=sqrt(n);
for(ll i=1;i<=m;i++)
if(n%i==0)
{
ans+=i*phi(n/i);
if(n/i!=i)
ans+=n/i*phi(i);
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}

题目中要求出∑gcd(i,N)(1<=i<=N)。

枚举n的约数k，令s(k)为满足gcd(m,n)=k,(1<=m<=n)m的个数，则ans=sigma(k*s(k)) (k为n的约数）

因为gcd(m,n)=k,所以gcd(m/k,n/k)=1,于是s(k)=euler(n/k)

phi可以在根号的时间内求出