HDU-3507 Print Article （斜率优化）

题目大意：将n个数分成若干个区间，每个区间的代价为区间和的平方加上一个常数m，求最小代价。

题目分析：定义状态dp(i)表示前 i 个数已经分好的最小代价，则状态转移方程为

dp(i)=min(dp(j)+(sum(j)-sum(i))^2)+m <1>。将这个方程整理一下得到：

dp(i)=min(-2*sum(i)*sum(j)+dp(j)+sum(j)^2)+sum(i)^2+m <2>。

设函数f(i)=-2*sum(i)*sum(j)+dp(j)+sum(j)^2+sum(i)^2+m <3>，则dp(i)=min(f(i))。

另k(i)=-2*sum(i)，x(j)=sum(j)，b(j)=dp(j)+sum(j)^2+m。

则f(i)=k(i)*x(j)+b(j)，

移项得到b(j)=-k(i)*x(j)+f(i) <4>。

枚举到i 时，i 是固定的，所以，-k(i)是常量，但f(i)不是常量。j仍是变量，所以x(j)与b(j)的关系便是一元一次函数中x与y的关系，每一个 j 对应一对儿(x,y)，将<4>式简记为y=k*x+f(i)，这实际上得到了一个斜率为k的直线族。对于 j 对应的每对儿(x,y)，f(i)都有一个取值，要使得f(i)取最小值，只需要将族中的一条直线从负无穷远处往上平移，直到遇到第一个点，这时这个点对应的 j 便是最优决策，并且这个点一定会是凸包上的一个点。

　　随着 i 的递增，斜率-k(i)=2*sum(i)随之递增，显然，最优决策也会随之递增。这时候，就可以用单调队列来维护一个下凸壳。

第一次做这种DP，在网上看了一些大牛的博客：

/article/6002672.html（这个比较易懂）

http://blog.sina.com.cn/s/blog_508dd1e60100tvk0.html

其中，又夹杂了自己的一些理解，也不知道理解的对不对，希望您看到错误之后能不吝赐教！

代码如下：

# include<iostream>
# include<cstdio>
# include<cstring>
# include<algorithm>
using namespace std;

int n,m;
int a[500005];
int q[500005];
int dp[500005];
int sum[500005];

void read(int &x)
{
char ch=' ';
while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
x=0;
while(ch>='0'&&ch<='9'){
x=x*10+ch-'0';
ch=getchar();
}
}

void init()
{
sum[0]=0;
for(int i=1;i<=n;++i){
read(a[i]);
sum[i]=a[i]+sum[i-1];
}
}

int getSon(int i,int j)
{
return dp[j]-dp[i]+(sum[j]+sum[i])*(sum[j]-sum[i]);
}

int getMother(int i,int j)
{
return 2*(sum[j]-sum[i]);
}

int toDp(int i,int j)
{
return dp[i]+m+(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j]);
}

int solve()
{
int head=0,tail=-1;
q[++tail]=0;
dp[0]=0;
for(int i=1;i<=n;++i){
while(head+1<=tail&&getSon(q[head],q[head+1])<=sum[i]*getMother(q[head],q[head+1]))
++head;
dp[i]=toDp(q[head],i);
while(head+1<=tail&&getSon(q[tail],i)*getMother(q[tail-1],q[tail])<=getSon(q[tail-1],q[tail])*getMother(q[tail],i))
--tail;
q[++tail]=i;
}
return dp
;
}

int main()
{
while(~scanf("%d%d",&n,&m))
{
init();
printf("%d\n",solve());
}
return 0;
}