[bzoj3142][HNOI2013]数列

3142: [Hnoi2013]数列

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Description

小T最近在学着买股票，他得到内部消息：F公司的股票将会疯涨。股票每天的价格已知是正整数，并且由于客观上的原因，最多只能为N。在疯涨的K天中小T观察到：除第一天外每天的股价都比前一天高，且高出的价格（即当天的股价与前一天的股价之差）不会超过M，M为正整数。并且这些参数满足M(K-1) < N。

小T忘记了这K天每天的具体股价了，他现在想知道这K天的股价有多少种可能

Input

只有一行用空格隔开的四个数：N、K、M、P。对P的说明参见后面“输出格式”中对P的解释。

输入保证20%的数据M,N,K,P≤20000，保证100%的数据M,K,P≤109，N≤1018 。

Output

仅包含一个数，表示这K天的股价的可能种数对于P的模值。【输入输出样例】

Sample Input

7 3 2 997

Sample Output

16

【样例解释】

输出样例的16表示输入样例的股价有16种可能：

{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{1，3，5}， {2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{2，4，6}， {3，4，5}，{3，4，6}，{3，5，6}，{3，5，7}，{4，5，6}，{4，5，7}，{4，6，7}，{5，6，7}

当前的数组是a[i]，设f[i]表示f[i]-f[i-1]

那么对于每一个数列f对于答案的贡献为n−∑ni=1a[i]

那么对于所有的数列来说，答案就是：∑排列所有（n−∑k−1i=1a[i]）

因为总共可能的数组有m^k-1个，所以这个式子就能变成：

n * m^(k-1)-∑∑k−1i=1a[i]

n * m^(k-1)-(k−1)m(k−1)m∗m(m+1)2

后面表示的意思是：一共有m^(k-1)种数列，每个数列有k-1个数，所以医用出现了(k−1)∗m(k−1)个数，因为每个数出现的次数一样，所以每个数都出现了(k−1)m(k−1)m次。

m个数的和是m(m+1)2所以最后的答案就是上面那个。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define LL long long
LL n,k,m,p;
inline LL quickpow(LL x,LL y){
int ans=1;
while(y){
if(y&1) ans=ans*x%p;
y>>=1;x=x*x%p;
}
return ans;
}
int main(){
int i,j;
scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&m,&p);n%=p;
LL ans=(n*quickpow(m,k-1))%p-(((quickpow(m,k-2)*(k-1))%p)*(m*(m+1)/2%p))%p;
while(ans<0) ans+=p;
printf("%lld\n",ans);
}