最大子列和问题

一. 给定N个整数的序列{A1, A2,...，An},求函数

的最大值

1. 算法一：

<span style="font-size:14px;">int MaxSubseqSum1(int A[], int N)
{
int ThisSum, MaxSum = 0;
int i, j, k;
for(i = 0; i < N; i++)/* i是子列左端位置 */
{
for(j = i; j < N; j++)/* j是子列右端位置 */
{
ThisSum	= 0;/* ThisSum是从A[i]到A[j]的子列和 */
for(k = i; k <= j; k++)
{
ThisSum += A[k];
}
if(ThisSum > MaxSum)/*如果刚得到的这个子列和更大*/
{
MaxSum = ThisSum;/* 则更新结果 */
}
}/* j循环结束 */
}/* i循环结束 */
return MaxSum;
}</span>

时间复杂度：



上面这个算法是以下面方式累加的：

1) 当i = 0 时候，











.....



当i = 1时候，





....



2. 算法二：

对于相同的i，不同的j，只要在j - 1次循环的基础上累加1项即可。

<span style="font-size:14px;">int MaxSubseqSum2(int A[], int N)
{
int ThisSum, MaxSum = 0;
int i, j;
for(i = 0; i < N; i++)/* i是子列左端位置 */
{
ThisSum	= 0;/* ThisSum是从A[i]到A[j]的子列和 */
for(j = i; j < N; j++)/* j是子列右端位置 */
{
ThisSum += A[k];
/*对于相同的i,不同的j，只要在j-1次循环的基础上累加1项即可*/
if(ThisSum > MaxSum)/*如果刚得到的这个子列和更大*/
{
MaxSum = ThisSum;/* 则更新结果 */
}
}/* j循环结束 */
}/* i循环结束 */
return MaxSum;
}</span>

时间复杂度：


3. 第三种算法：分而治之

把数组一份为二，采用递归的方法去解决左右两边的问题，

递归的解决左边的问题，会得到左边的最大子列和，

递归的解决右边的问题，会得到右边的最大子列和，
跨越边界的最大子列和，把这三个结果找到，我最后的结果一定是这三个最大的。
开始是分，最后的合成是治。



 


 






如何求跨越子列和：

从中间开始，往左边扫描，然后往右边扫描。没个原始都会被扫描一次。 从中间线开始往左逐个累加，然后找到从中间左边第一个开始累加的最大值， 然后从中间往右逐个累加，然后找到从间接线右边第一个开始累加的最大值。 然后把左右两边给合并起来，得出的结果就是跨越子列和的最大值。

时间复杂度：



4. 算法四：在线处理

最大值就是：7

int MaxSubseqSum4(int A[], int N)
{
int ThisSum, MaxSum;
int i;
ThisSum = MaxSum = 0;
for(i = 0; i < N; i++)
{
This+=A[i];/*向右累加*/
if(ThisSum > MaxSum)
{
MaxSum = ThisSum;/*发现更大和则更新当前结果*/
}
else if(ThisSum < 0)/* 如果当前子列和为负 */
{
ThisSum = 0;/* 则不可能使后面的部分和增大，抛弃之 */
}
}
return MaxSum;
}

时间复杂度：

“在线”的意思是指每输入一个数据就进行即时处理，在任何一个地方中止输入，算法都能正确给出当前的解。

5. 运行时间比较：