DZY Loves Partition
2016-03-20 11:15
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问题描述
输入描述
输出描述
输入样例
输出样例
Hint
DZY喜欢拆分数字。他想知道能否把nn拆成恰好kk个不重复的正整数之和。 思考了一会儿之后他发现这个题太简单,于是他想要最大化这kk个正整数的乘积。你能帮帮他吗? 由于答案可能很大,请模1097109+7输出。
输入描述
第一行tt,表示有tt组数据。 接下来tt组数据。每组数据包含一行两个正整数nkn,k。 (1t502nk1091≤t≤50,2≤n,k≤109)
输出描述
对于每个数据,如果不存在拆分方案,输出1−1;否则输出最大乘积模1097109+7之后的值。
输入样例
4 3 4 3 2 9 3 666666 2
输出样例
-1 2 24 110888111
Hint
第一组数据没有合法拆分方案。 第二组数据方案为3123=1+2,答案为1221×2=2 第三组数据方案为92349=2+3+4,答案为234242×3×4=24。注意93339=3+3+3是不合法的拆分方案,因为其中包含了重复数字。 第四组数据方案为666666333332333334666666=333332+333334,答案为333332333334111110888888333332×333334=111110888888。注意要对1097109+7取模后输出,即110888111
记sumakaa1ak1sum(a,k)=a+(a+1)+⋯+(a+k−1)。首先,有解的充要条件是sum1knsum(1,k)≤n(如果没取到等号的话把最后一个kk扩大就能得到合法解)。然后观察最优解的性质,它一定是一段连续数字,或者两段连续数字中间只间隔1个数。这是因为1ab21≤a<=b−2时有aba1b1ab<(a+1)(b−1),如果没有满足上述条件的话,我们总可以把最左边那段的最右一个数字作为aa,最右边那段的最左一个数字作为bb,调整使得乘积更大。可以发现这个条件能够唯一确定nn的划分,只要用除法算出唯一的aa使得sumaknsuma1ksum(a,k)≤n<sum(a+1,k)就可以得到首项了。时间复杂度OnO(√n),这是暴力把每项乘起来的复杂度。110888111
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<vector> #include<cmath> using namespace std; typedef long long LL; int a[100005]; int main() { int T; scanf("%d", &T); while (T--) { int n, k; scanf("%d %d", &n, &k); LL tmp = (LL)k * (k + 1) / 2; if (tmp > n) { puts("-1"); continue; } for (int i = 1; i <= k; i++) a[i] = i; n -= tmp; for (int i = 1; i <= k; i++) a[i] += n / k; n -= n / k * k; for (int i = k; i >= 1 && n > 0; i--, n--) a[i]++; LL ans = 1; for (int i = 1; i <= k; i++) { ans *= a[i]; ans %= 1000000007; } printf("%lld\n", ans); } return 0; }
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