浙江大学2016数学专业复试真题

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请从以下七部分任选三部分作答，每题25分，共150分。

常微分方程：

1、$p$为何值时，边值问题$y''+2y'+py=0，y(0)=0，y(1)=0$有非零解；

若$p(x)$在$(-\infty,+\infty)$连续，$p(x)<1+\pi^2$，证明：边值问题$y''+2y'+p(x)y=0，y(0)=0，y(1)=0$只有零解。

2、证明初值问题解的存在和唯一性。

实变函数：

1、证明$R^n$中的闭集可以表示成可列个开集的交，开集可以表示成可列个闭集的并。

2、$\lim\limits_{n \to \infty}\int_0^1 e^{-nx^2}dx$，$\lim\limits_{n \to \infty}\int_0^1 \frac{nx}{1+n^2x^2}dx$。

抽象代数：

1、群$G$的元数是$n$，它的一个子集是$H$，$H$的元数大于$\frac{n}{2}$，证明由$H$生成的子群只能是$G$。

2、$K$是域，$K[x,y]$是域上的二元多项式，证明$x^ny-1$不可约。

复变函数：

1、叙述$Morera$定理并证明之（$Cauchy$定理的逆定理）。

2、函数$f(z)$在实轴和虚轴上连续，在复平面其它区域解析，证明$f(z)$是整函数。

微分几何：

曲率，挠率，极小曲线，曲率线，待补充

计算方法：

$LU$分解，待补充

数学规划：

待补充