【算法笔记】渐进符号

在求算法的时间复杂度之前我们先了解一些基本概念：
1、渐进符号
1.1、O符号
定义：另f(n)和g(n)是从自然数集到非负实数集的两个函数，如果存在一个自然数n0,对于任意的n > n0，都有f(n)<=cg(n)(其中c为常数),则记f(n) = Og(n)。
也就是说cg(n)是f(n)的上界。
例如：
f(n)=2n^2+3n+3，当n>=3时，3n+3<=4n，当n>=4时，4n<n^2，f(n)=2n^2+n^2=3n^2。

f(n)=O(n^2)，这里c是3，n0=4，如下图所示：



1.2、Ω符号

f(n)=Ω(g(n))，当且仅当存在正的常数c和n0，使得对于所有n>=n0，有f(n)>=cg(n)。

Ω符号是给函数的下限。

例2：

对于所有的n，有f(n)=3n+2>3n，所以f(n)=Ω(n)，这里c=3，n0=0。这里也可以这样f(n)=Ω(1)，

但是这个精确度貌似也太坑爹了。

比分析函数上限简单些，如下图所示：



1.3、Θ符号

对于存在大于0的常数c1、c2和非负的整数n0，以及足够大的n，对于所有的n≥n0来说，有c1g(n)<=f (n)<=c2g(n)。
例3：

3n+2=Θ(n)，当c1=3,c2=4，n>=n0=2时，3n<=3n+2<=4n。



1.4、小写o符号

定义:f(n)=o(g(n))当且仅当f(n)=O(g(n))且f(n)!=Ω(g(n))。