BZOJ 2705 Longge的问题(欧拉函数)

2705: [SDOI2012]Longge的问题

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Description

[align=left]Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。[/align]

Input

[align=left]一个整数，为N。[/align]

Output

[align=left]一个整数，为所求的答案。[/align]

Sample Input

6

Sample Output

15

HINT

【数据范围】

对于60%的数据，0<N<=2^16。

对于100%的数据，0<N<=2^32。

 

题解：这道题目求的是∑gcd(i,n)  (1<=i<=n)。   枚举n的约数k，令s(k)为满足gcd(i,n)=k的个数，所以ans=∑(k*s(k))。

因为gcd(i,n)=k，所以gcd(i/k,n/k)=1，于是s(k)=euler(n/k)。

代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define LL long long
LL m;

LL euler(LL k)
{
LL res=k,i;
for(i=2;i*i<=k;++i)
{
if(k%i==0)
res=res/i*(i-1);
while(k%i==0)
k/=i;
}
if(k>1)
res=res/k*(k-1);
return res;
}

int main()
{
LL ans,n,i;
while(scanf("%lld",&n)!=EOF)
{
m=sqrt(n);
ans=0;
for(i=1;i<=m;++i)
{
if(n%i==0)
{
ans+=(LL)i*euler(n/i);
if(i*i<n)
ans+=(LL)(n/i)*euler(i);
}
}
printf("%lld\n",ans);
}
}