学术报告PPT的latex模板
2016-03-14 20:41
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\documentclass[CJK,notheorems,mathserif,table]{beamer}
\useoutertheme[height=0.1\textwidth,width=0.15\textwidth,hideothersubsections]{sidebar}
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\usecolortheme{orchid} % Inner color themes, 其他选择: lily, orchid
\useinnertheme[shadow]{rounded} % 对 box 的设置: 圆角、有阴影.
\setbeamercolor{sidebar}{bg=blue!50} % sidebar的颜色, 50%的蓝色.
%\setbeamercolor{background canvas}{bg=blue!9} % 背景色, 9%的蓝色. 去掉下一行, 试一试这个.
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\usefonttheme{serif} % 字体. 个人偏好有轮廓的字体. 去掉这个设置编译, 就看到不同了.
\setbeamertemplate{navigation symbols}{} %% 去掉页面下方默认的导航条.
%%------------------------ 常用宏包---------------------------------------------------------------------
%%注意, beamer 会默认使用下列宏包: amsthm, graphicx, hyperref, color, xcolor, 等等
\usepackage{CJK}
\usepackage{subfigure} %% 图形或表格并排排列
\usepackage{xmpmulti} %% 支持文中的 \multiinclude 等命令, 使 mp 文件逐帧出现. 具体讨论见 beamer 手册.
\usepackage{colortbl,dcolumn} %% 彩色表格
\usepackage{subfigure}
\usepackage{epstopdf}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{bm}
%\usepackage{multirow}
%\usepackage{multicolumns}
\graphicspath{{figures/}} %% 图片路径. 本文的图片都放在这个文件夹里了.
\DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{} %% 使 pdflatex 可以纳入 metapost 做的图片.
\renewcommand{\raggedright}{\leftskip=0pt \rightskip=0pt plus 0cm}
\raggedright %% 中文对齐
\def\hilite<#1>{\temporal<#1>{\color{blue!35}}{\color{magenta}}{\color{blue!75}}}
%% 自定义命令, 源自 beamer_guide. item 逐步显示时, 使已经出现的item、 正在显示的item、将要出现的item 呈现不同颜色.
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\newcolumntype{H}{>{\columncolor{blue!20}}c} %% 表格设置
%================================== 参考文献==============================================================
\newcommand{\upcite}[1]{\textsuperscript{\cite{#1}}} %自定义命令\upcite, 使参考文献引用以上标出现
\bibliographystyle{plain}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 重定义字体、字号命令 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\songti}{\CJKfamily{song}} % 宋体
\newcommand{\fangsong}{\CJKfamily{fs}} % 仿宋体
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\newcommand{\youyuang}{\CJKfamily{you}} % 幼圆
\newcommand{\sihao}{\fontsize{14pt}{\baselineskip}\selectfont} % 字号设置
\newcommand{\xiaosihao}{\fontsize{12pt}{\baselineskip}\selectfont} % 字号设置
\newcommand{\wuhao}{\fontsize{10.5pt}{\baselineskip}\selectfont} % 字号设置
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\newcommand{\qihao}{\fontsize{5.25pt}{\baselineskip}\selectfont} % 字号设置
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\begin{CJK*}{GBK}{kai}
%%----------------------- Theorems ---------------------------------------------------------------------
\newtheorem{theorem}{定理}
\newtheorem{definition}{定义}
\newtheorem{lemma}{引理}
\newtheorem{corollary}{推论}
\newtheorem{proposition}{性质}
\newtheorem{example}{例}
\newtheorem{remark}{注}
\newtheorem{algorithm}{算法}
\newtheorem{problem}{问题}
\renewcommand\figurename{\rm 图}
\renewcommand\tablename{\bf 表}
\newcommand{\myname}{我的名字}
%%----------------------------------------------------------------------------------------------------
\title{\heiti 基于谱假想区域法解复杂区域椭圆问题}
%\author[\textcolor{white}{\kaishu }]{\kaishu }
\author[\textcolor{white}{\kaishu}] {\myname}
\institute{\wuhao \kaishu \textcolor{black}{学校名字 }}
\date{\today}
\frame{ \titlepage }
%---------------------------------------------------------------------------------------------------
\section*{目录}
\frame{\frametitle{目录}\tableofcontents}
\section{问题描述}
\begin{frame}\frametitle{不规则区域椭圆问题}
\begin{equation}
\label{eq:original}
\begin{cases}
-\triangle u=f(x),\quad \ \ x\in \Omega_p\\
u(x)=g(x),\quad \ \ x\in \gamma
\end{cases}
\end{equation}
其中 $\gamma$ 是区域$\Omega_p$ 的边界，且$\gamma$不是规则的形状，$f(x)$ 是一个给定的右端项。<
c899
br />
\end{frame}
\begin{frame}\frametitle{基本思路}
将以上问题(\ref{eq:original})
的右端项函数光滑延拓到一个更大的规则区域$\Omega$上，并在
规则区域$\Omega$上运用傅里叶谱方法进行求解。
\end{frame}
%%===================================================================================================
\section{基于假想区域的带有内强制力法}
%%%---------------------------------------------------------------------------------------------------
%%---------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}\frametitle{内强制力函数}
\begin{enumerate}
\item Dirac函数：
$h(s,x)=\delta(r)$
\item Hat函数：
$h(s,x)=\begin{cases}1-\frac{r}{\rho},\quad \ \ &r\leqslant\rho\\
0,\quad \ \ &otherwise\end{cases}$
\item Bump函数：
$h(s,x)=\begin{cases}e^{1-\frac{1}{1-(\frac{r}{\rho})^2}},\quad \ \ &r\leqslant\rho\\
0,\quad \ \ &otherwise\end{cases}$
\end{enumerate}
\begin{figure}[htbp]
%\graphicspath{{figures/}}
\centering
\includegraphics[height=3cm,width=6cm]{new1_7.eps}
\label{fig:7}
\end{figure}
\end{frame}
%%-------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}\frametitle{延拓问题}
寻找定义在区域 $\Omega$上的函数$\tilde{u}$ ，使得：
\begin{equation}
\label{eq:new}
\begin{cases}
-\triangle \tilde{u}=\tilde{f}(x),\quad \ \
x\in \Omega\\
\tilde{u}(x)=g(x),\quad \ \ x\in \gamma
\end{cases}
\end{equation}
我们希望有$\tilde{u}|_{\Omega_p} =u$ ，其中$u$是原问题(\ref{eq:original}) 的解。
\end{frame}
%%-------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}\frametitle{右端项的非零校正项}
引入
一个非零校正项$\delta f(x)$，它在假想区域$\omega=\Omega\setminus \Omega_p$中必须满足以下条件
\begin{equation}
\label{eq:deltaf}
\begin{cases}
\delta f(x)=\tilde{f}(x)-f(x),
x\in \Omega \\
\delta f(x)=0,\quad \ \ \quad \ \ \quad x\in \omega
\end{cases}
\end{equation}
为了定义$\delta f$，本文选择以下参数：
\begin{equation}
\label{eq:deltaf1}
\delta f(x)=\int_{\breve{\gamma}}\lambda(s)h(s,x)ds
\end{equation}
其中$\breve{\gamma}$是假想区域$\omega$的“内”边界，$h(s,x)$是给定的
内强制函数，拉格朗日乘数$\lambda(s)$表示强制力的振幅。
\end{frame}
\begin{frame}\frametitle{广义拉格朗日乘数公式}
因此问题(\ref{eq:new})的广义拉格朗日乘数公式可以写成如下形式：
寻找$\tilde{u}\in L^2 (\Omega)$，$\lambda\in L(\breve{\gamma})$，
使得$\forall \tilde{v}\in L^2 (\Omega)$，$\mu\in L(\gamma)$有
\begin{equation}
\label{eq:Lag}
\begin{cases}
\int_\Omega -\triangle\tilde{u}\tilde{v}d\Omega=
\int_\Omega f\tilde{v}d\Omega+\int_{\breve{\gamma}} \lambda(\breve{s})(\int_\omega h(\breve{s},x)\tilde{v}(x)dx)d\breve{s}\\
\int_\gamma (\tilde{u}-g)\mu(s) ds=0
\end{cases}
\end{equation}
这个问题的解$\tilde{u}$就是原问题(\ref{eq:original}) 的弱解。
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}\frametitle{数值算法}
\begin{equation}
\label{eq:fourier}
u^M(x,y)=\sum_{p=-\frac{P}{2}}^{\frac{P}{2}}\sum_{n=-\frac{N}{2}}^{\frac{N}{2}}
\hat{u}_{\bm{k}}e^{i\bm{k}\cdot\bm{x}}
\end{equation}
其中$\bm{k}=2\pi[\frac{p}{L_x},\frac{n}{L_y}]$
引入$L^2 (\Omega)$空间中的内积：$(u,v)=\int_\Omega uvd\Omega$
取测试函数集为：$v_{\bm{r}}(\bm{x})=e^{i\bm{r}\cdot\bm{x}}$
\begin{gather*}
\label{eq:disLag}
\sum_{\bm{k}}\hat{u}_{\bm{k}}\lVert \bm{k}\rVert^2 \int_{\Omega}e^{i\bm{k}\cdot\bm{x}}e^{i\bm{r}\cdot\bm{x}}
d\Omega+\sum_{i=1}^{N_c}\lambda_i\int_\omega h_ie^{i\bm{r}\cdot\bm{x}}d\omega\\
\vspace{5cm}=\int_\Omega fe^{i\bm{r}\cdot\bm{x}}d\Omega,\forall \bm{r} \\
\sum_{\bm{k}}\hat{u}_{\bm{k}}e^{i\bm{k}\cdot\bm{\bm{x_j}}}=g(\bm{x_j}),\forall j
\end{gather*}
\end{frame}
%%%========================================================================================================
\section{函数的周期光滑延拓}
%%%========================================================================================================
%%%---------------------------------------------------------------------------------------------------
%%---------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}\frametitle{最小二乘问题}
\begin{problem}\label{problem1.1}
令$G_n$是周期为$4$的函数空间，其形式为
\begin{equation}\label{eq:problem1}
g\in G_n:g(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^na_k\cos\frac{\pi}{2}kx+b_k\sin\frac{\pi}{2}kx
\end{equation}
$f$在区间$[-2,2]$上的傅里叶延拓是以下优化问题的解
\begin{equation}
\label{eq:problem2}
g_n:=\arg\min_{g\in G_n}\lVert f-g\rVert_{L_{[-1,1]}^2}
\end{equation}
\end{problem}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}\frametitle{一维函数的延拓表达式}
引入两个集合$L_N$和$L_D$，分别为
$$L^N:=\lbrace\phi_j^N\rbrace_{j=1}^{2n+1}=\lbrace\frac{1}{\sqrt{2}}\rbrace\cup
\lbrace\cos\pi kx\rbrace_{k=1}^n\cup
\lbrace\sin\pi(k+\frac{1}{2})x\rbrace_{k=0}^{n-1}$$
$$L^D:=\lbrace\phi_j^N\rbrace_{j=1}^{2n}=\lbrace\cos\pi(k+\frac{1}{2})x\rbrace_{k=0}^{n-1}
\cup\lbrace\sin\pi kx\rbrace_{k=1}^n$$
令$L^N$为空间$G_{2n}$的前$2n+1$个基函数，$L^D$为后$2n$ 个基函数。
选取配点集
$\lbrace y_j\rbrace_{j=1}^M$，$y_j\in[-1,1]$，$M\geq4n+1$，
求解以下线性方程
\begin{equation}
\label{eq:collocation eq}
\bar{\mathbf A}\mathbf x=\bar{\mathbf B}
\end{equation}
其中$\bar{\mathbf A}_{ij}=\phi_j(y_i),\bar{\mathbf B}_i=f(y_i)$。
\end{frame}
%%---------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}\frametitle{二维函数的延拓表达式}
给定$G_{2n}$ 空间的一组基$\lbrace\phi_j(x)\rbrace_{j=1}^{4n+1}\cup\lbrace\phi_j(y)\rbrace_{j=1}^{4n+1}$
和配点集$\lbrace(x_j,y_j)\in\Omega_p\rbrace_{j=1}^M$，$M\geq(4n+1)^2$，
那么二维函数的周期延拓函数为
$$g_n(x,y)=\sum_{i=1}^{4n+1}\sum_{j=1}^{4n+1}x_{ij}\phi_i(x)\phi_j(y)$$
$$\mathbf A\mathbf x=\mathbf B$$
记$\mathbf A=[A_1,A_2,\dotsm,A_j,\dotsm,A_M]^T,$\\
\quad $\mathbf B=[B_1,B_2,\dotsm,B_j,\dotsm,B_M]^T$
\begin{align*}
&A_j=C_j\otimes D_j,\\
& C_j=[\phi_1(x_j),\phi_2(x_j),\dotsm,\phi_{4n+1}(x_j)],\\
&D_j=[\phi_1(y_j),\phi_2(y_j),\dotsm,\phi_{4n+1}(y_j)],\\
& B_j=f(x_j,y_j)
\end{align*}
\end{frame}
%\section{基于Trefftz方法的算法}
%\begin{frame}\frametitle{T-Trefftz基函数}
%具体表达式
%\end{frame}
%
\section{基于Trefftz法的算法}
\begin{frame}\frametitle{定理}
下面的定理给出调和方程一般解的表示方法。
\begin{theorem}
\label{eq:Theo}
单连通区域$\Omega$上的任意调和函数$\psi(x,y)$ 可以表
示为$\Omega$ 上一解析函数$\varphi$的实部，即
\begin{equation}\label{eq:harmonic}
\psi=\mathbf{Re}\varphi(z)
\end{equation}
其中，$z=x+yi$。反之，对$\Omega$上的任意解析函数$\varphi(z)$，
由式(\ref{eq:harmonic})得到的函数$\psi(x,y)$ 必是$\Omega$上的调和函数。
\end{theorem}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}
%有了一组完备解系$\lbrace\psi_n\rbrace_{n=1}^\infty$，则Laplace方程的解可以用下式逼近
%\begin{equation}\label{eq:app}
%u_N=\sum_{k=1}^N[\beta_k^1\psi_{2k-1}(x,y)
%+\beta_k^2\psi_{2k}(x,y)]
%\end{equation}
%可知$\psi_k$与区域形状无关，这里未知参数$\beta_k^1$和$\beta_k^2$
%需利用边界条件通过配点、最小二乘法等方法得到。
%\end{frame}
\begin{frame}\frametitle{分离特解和齐次解}
将不规则区域椭圆问题的解$u$分解为
\begin{equation}\label{eq:decompose}
u=u_h+u_p
\end{equation}
其中$u_h$和$u_p$分别表示为方程(\ref{eq:original})的齐次解和特解。
特解$u_p$满足：
\begin{equation}\label{eq:particularsolution}
\triangle u=f(x,y),(x,y)\in\Omega_p
\end{equation}
而齐次解$u_h$满足:
\begin{equation}
\label{eq:homogenoussolution}
\begin{cases}
\triangle u_h=0,(x,y)\in\Omega_p\\
u_h(x,y)=g(x,y)-u_p(x,y),(x,y)\in\gamma
\end{cases}
\end{equation}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}\frametitle{求解特解}
\begin{equation}
\label{eq:up}
\triangle u_p=\tilde{f}(x),x\in\Omega
\end{equation}
其中，$\tilde{f}$是$f$周期光滑延拓后的函数。
\end{frame}
\begin{frame}\frametitle{求解齐次解}
\begin{align*}\label{eq:T-Trefftz}
u^*&=\lbrace u_1^*,u_2^*,u_3^*,\dotsm,u_{2m}^*,u_{2m+1}^*,\dotsm,\rbrace\\
&=\lbrace 1,x,y,x^2-y^2,2xy,\dotsm\rbrace
\end{align*}
$u_h$可以由T-Trefftz基函数$u_j^*$ 的线性组合近似得到：
\begin{equation}\label{eq:uhTrefftz}
u_h\approx u_1^*b_1+u_2^*b_2+\dotsm+u_S^*b_S=\bm{u}^*\bm{\beta}
\end{equation}
令$\bm{u}^*=[u_1^*,u_2^*,u_3^*,\dotsm,u_S^* ]$，
$\bm{\beta}=[b_1,b_2,b_3,\dotsm,b_S]^T$ 为未知参数向量。
\begin{equation}\label{eq:disboundarycon}
\bm{u}^*(\bm{x_j})\bm{\beta}=g(\bm{x_j})-u_p(\bm{x_j}), j=1,2,\dotsm,M
\end{equation}
\end{frame}
\section{总结与展望}
\begin{frame}\frametitle{总结}
第二章考虑用带有内强制力的假想区域方法光滑延拓右端项。
对于二维椭圆问题，通过选取合适的参数，这种方法
的计算精度达到$10^{-5}$。
第四章考虑基于右端项的周期光滑延拓方法和Trefftz方法，
将原椭圆问题
的解分解为齐次解和特解。
从计算的结果来看，这种方法具有很好的稳定性。然而计算精
度目前只能达到
$10^{-3}$，这可能是由于右端项函数的周期延拓函数在假想
区域内出现震荡所导致的。
\end{frame}
\begin{frame}\frametitle{展望}
由于以上两种数值算法的计算精度都没有达到谱方法的谱精度，
因此未来的研究
工作将着重放在如何周期光滑延拓函数上。对于带有内强制力的
假想区域方法，
我们考虑如何选取参数，来提高这种方法的计算精度并探索出
其中参数选取的一般规律性。
对于傅里叶谱Trefftz方法，我们考虑如何把右端项函数周期光
滑延拓到一个规则的二维区域中，
来提高这种方法的计算精度。
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\begin{center}
{\huge \emph{谢谢！}}\\
\end{center}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{CJK*}
\end{document}
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%%------------------------ 常用宏包---------------------------------------------------------------------
%%注意, beamer 会默认使用下列宏包: amsthm, graphicx, hyperref, color, xcolor, 等等
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\usepackage{subfigure} %% 图形或表格并排排列
\usepackage{xmpmulti} %% 支持文中的 \multiinclude 等命令, 使 mp 文件逐帧出现. 具体讨论见 beamer 手册.
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\usepackage{bm}
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%================================== 参考文献==============================================================
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\newcommand{\xiaosihao}{\fontsize{12pt}{\baselineskip}\selectfont} % 字号设置
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\begin{CJK*}{GBK}{kai}
%%----------------------- Theorems ---------------------------------------------------------------------
\newtheorem{theorem}{定理}
\newtheorem{definition}{定义}
\newtheorem{lemma}{引理}
\newtheorem{corollary}{推论}
\newtheorem{proposition}{性质}
\newtheorem{example}{例}
\newtheorem{remark}{注}
\newtheorem{algorithm}{算法}
\newtheorem{problem}{问题}
\renewcommand\figurename{\rm 图}
\renewcommand\tablename{\bf 表}
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%%----------------------------------------------------------------------------------------------------
\title{\heiti 基于谱假想区域法解复杂区域椭圆问题}
%\author[\textcolor{white}{\kaishu }]{\kaishu }
\author[\textcolor{white}{\kaishu}] {\myname}
\institute{\wuhao \kaishu \textcolor{black}{学校名字 }}
\date{\today}
\frame{ \titlepage }
%---------------------------------------------------------------------------------------------------
\section*{目录}
\frame{\frametitle{目录}\tableofcontents}
\section{问题描述}
\begin{frame}\frametitle{不规则区域椭圆问题}
\begin{equation}
\label{eq:original}
\begin{cases}
-\triangle u=f(x),\quad \ \ x\in \Omega_p\\
u(x)=g(x),\quad \ \ x\in \gamma
\end{cases}
\end{equation}
其中 $\gamma$ 是区域$\Omega_p$ 的边界，且$\gamma$不是规则的形状，$f(x)$ 是一个给定的右端项。<
c899
br />
\end{frame}
\begin{frame}\frametitle{基本思路}
将以上问题(\ref{eq:original})
的右端项函数光滑延拓到一个更大的规则区域$\Omega$上，并在
规则区域$\Omega$上运用傅里叶谱方法进行求解。
\end{frame}
%%===================================================================================================
\section{基于假想区域的带有内强制力法}
%%%---------------------------------------------------------------------------------------------------
%%---------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}\frametitle{内强制力函数}
\begin{enumerate}
\item Dirac函数：
$h(s,x)=\delta(r)$
\item Hat函数：
$h(s,x)=\begin{cases}1-\frac{r}{\rho},\quad \ \ &r\leqslant\rho\\
0,\quad \ \ &otherwise\end{cases}$
\item Bump函数：
$h(s,x)=\begin{cases}e^{1-\frac{1}{1-(\frac{r}{\rho})^2}},\quad \ \ &r\leqslant\rho\\
0,\quad \ \ &otherwise\end{cases}$
\end{enumerate}
\begin{figure}[htbp]
%\graphicspath{{figures/}}
\centering
\includegraphics[height=3cm,width=6cm]{new1_7.eps}
\label{fig:7}
\end{figure}
\end{frame}
%%-------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}\frametitle{延拓问题}
寻找定义在区域 $\Omega$上的函数$\tilde{u}$ ，使得：
\begin{equation}
\label{eq:new}
\begin{cases}
-\triangle \tilde{u}=\tilde{f}(x),\quad \ \
x\in \Omega\\
\tilde{u}(x)=g(x),\quad \ \ x\in \gamma
\end{cases}
\end{equation}
我们希望有$\tilde{u}|_{\Omega_p} =u$ ，其中$u$是原问题(\ref{eq:original}) 的解。
\end{frame}
%%-------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}\frametitle{右端项的非零校正项}
引入
一个非零校正项$\delta f(x)$，它在假想区域$\omega=\Omega\setminus \Omega_p$中必须满足以下条件
\begin{equation}
\label{eq:deltaf}
\begin{cases}
\delta f(x)=\tilde{f}(x)-f(x),
x\in \Omega \\
\delta f(x)=0,\quad \ \ \quad \ \ \quad x\in \omega
\end{cases}
\end{equation}
为了定义$\delta f$，本文选择以下参数：
\begin{equation}
\label{eq:deltaf1}
\delta f(x)=\int_{\breve{\gamma}}\lambda(s)h(s,x)ds
\end{equation}
其中$\breve{\gamma}$是假想区域$\omega$的“内”边界，$h(s,x)$是给定的
内强制函数，拉格朗日乘数$\lambda(s)$表示强制力的振幅。
\end{frame}
\begin{frame}\frametitle{广义拉格朗日乘数公式}
因此问题(\ref{eq:new})的广义拉格朗日乘数公式可以写成如下形式：
寻找$\tilde{u}\in L^2 (\Omega)$，$\lambda\in L(\breve{\gamma})$，
使得$\forall \tilde{v}\in L^2 (\Omega)$，$\mu\in L(\gamma)$有
\begin{equation}
\label{eq:Lag}
\begin{cases}
\int_\Omega -\triangle\tilde{u}\tilde{v}d\Omega=
\int_\Omega f\tilde{v}d\Omega+\int_{\breve{\gamma}} \lambda(\breve{s})(\int_\omega h(\breve{s},x)\tilde{v}(x)dx)d\breve{s}\\
\int_\gamma (\tilde{u}-g)\mu(s) ds=0
\end{cases}
\end{equation}
这个问题的解$\tilde{u}$就是原问题(\ref{eq:original}) 的弱解。
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}\frametitle{数值算法}
\begin{equation}
\label{eq:fourier}
u^M(x,y)=\sum_{p=-\frac{P}{2}}^{\frac{P}{2}}\sum_{n=-\frac{N}{2}}^{\frac{N}{2}}
\hat{u}_{\bm{k}}e^{i\bm{k}\cdot\bm{x}}
\end{equation}
其中$\bm{k}=2\pi[\frac{p}{L_x},\frac{n}{L_y}]$
引入$L^2 (\Omega)$空间中的内积：$(u,v)=\int_\Omega uvd\Omega$
取测试函数集为：$v_{\bm{r}}(\bm{x})=e^{i\bm{r}\cdot\bm{x}}$
\begin{gather*}
\label{eq:disLag}
\sum_{\bm{k}}\hat{u}_{\bm{k}}\lVert \bm{k}\rVert^2 \int_{\Omega}e^{i\bm{k}\cdot\bm{x}}e^{i\bm{r}\cdot\bm{x}}
d\Omega+\sum_{i=1}^{N_c}\lambda_i\int_\omega h_ie^{i\bm{r}\cdot\bm{x}}d\omega\\
\vspace{5cm}=\int_\Omega fe^{i\bm{r}\cdot\bm{x}}d\Omega,\forall \bm{r} \\
\sum_{\bm{k}}\hat{u}_{\bm{k}}e^{i\bm{k}\cdot\bm{\bm{x_j}}}=g(\bm{x_j}),\forall j
\end{gather*}
\end{frame}
%%%========================================================================================================
\section{函数的周期光滑延拓}
%%%========================================================================================================
%%%---------------------------------------------------------------------------------------------------
%%---------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}\frametitle{最小二乘问题}
\begin{problem}\label{problem1.1}
令$G_n$是周期为$4$的函数空间，其形式为
\begin{equation}\label{eq:problem1}
g\in G_n:g(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^na_k\cos\frac{\pi}{2}kx+b_k\sin\frac{\pi}{2}kx
\end{equation}
$f$在区间$[-2,2]$上的傅里叶延拓是以下优化问题的解
\begin{equation}
\label{eq:problem2}
g_n:=\arg\min_{g\in G_n}\lVert f-g\rVert_{L_{[-1,1]}^2}
\end{equation}
\end{problem}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}\frametitle{一维函数的延拓表达式}
引入两个集合$L_N$和$L_D$，分别为
$$L^N:=\lbrace\phi_j^N\rbrace_{j=1}^{2n+1}=\lbrace\frac{1}{\sqrt{2}}\rbrace\cup
\lbrace\cos\pi kx\rbrace_{k=1}^n\cup
\lbrace\sin\pi(k+\frac{1}{2})x\rbrace_{k=0}^{n-1}$$
$$L^D:=\lbrace\phi_j^N\rbrace_{j=1}^{2n}=\lbrace\cos\pi(k+\frac{1}{2})x\rbrace_{k=0}^{n-1}
\cup\lbrace\sin\pi kx\rbrace_{k=1}^n$$
令$L^N$为空间$G_{2n}$的前$2n+1$个基函数，$L^D$为后$2n$ 个基函数。
选取配点集
$\lbrace y_j\rbrace_{j=1}^M$，$y_j\in[-1,1]$，$M\geq4n+1$，
求解以下线性方程
\begin{equation}
\label{eq:collocation eq}
\bar{\mathbf A}\mathbf x=\bar{\mathbf B}
\end{equation}
其中$\bar{\mathbf A}_{ij}=\phi_j(y_i),\bar{\mathbf B}_i=f(y_i)$。
\end{frame}
%%---------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}\frametitle{二维函数的延拓表达式}
给定$G_{2n}$ 空间的一组基$\lbrace\phi_j(x)\rbrace_{j=1}^{4n+1}\cup\lbrace\phi_j(y)\rbrace_{j=1}^{4n+1}$
和配点集$\lbrace(x_j,y_j)\in\Omega_p\rbrace_{j=1}^M$，$M\geq(4n+1)^2$，
那么二维函数的周期延拓函数为
$$g_n(x,y)=\sum_{i=1}^{4n+1}\sum_{j=1}^{4n+1}x_{ij}\phi_i(x)\phi_j(y)$$
$$\mathbf A\mathbf x=\mathbf B$$
记$\mathbf A=[A_1,A_2,\dotsm,A_j,\dotsm,A_M]^T,$\\
\quad $\mathbf B=[B_1,B_2,\dotsm,B_j,\dotsm,B_M]^T$
\begin{align*}
&A_j=C_j\otimes D_j,\\
& C_j=[\phi_1(x_j),\phi_2(x_j),\dotsm,\phi_{4n+1}(x_j)],\\
&D_j=[\phi_1(y_j),\phi_2(y_j),\dotsm,\phi_{4n+1}(y_j)],\\
& B_j=f(x_j,y_j)
\end{align*}
\end{frame}
%\section{基于Trefftz方法的算法}
%\begin{frame}\frametitle{T-Trefftz基函数}
%具体表达式
%\end{frame}
%
\section{基于Trefftz法的算法}
\begin{frame}\frametitle{定理}
下面的定理给出调和方程一般解的表示方法。
\begin{theorem}
\label{eq:Theo}
单连通区域$\Omega$上的任意调和函数$\psi(x,y)$ 可以表
示为$\Omega$ 上一解析函数$\varphi$的实部，即
\begin{equation}\label{eq:harmonic}
\psi=\mathbf{Re}\varphi(z)
\end{equation}
其中，$z=x+yi$。反之，对$\Omega$上的任意解析函数$\varphi(z)$，
由式(\ref{eq:harmonic})得到的函数$\psi(x,y)$ 必是$\Omega$上的调和函数。
\end{theorem}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}
%有了一组完备解系$\lbrace\psi_n\rbrace_{n=1}^\infty$，则Laplace方程的解可以用下式逼近
%\begin{equation}\label{eq:app}
%u_N=\sum_{k=1}^N[\beta_k^1\psi_{2k-1}(x,y)
%+\beta_k^2\psi_{2k}(x,y)]
%\end{equation}
%可知$\psi_k$与区域形状无关，这里未知参数$\beta_k^1$和$\beta_k^2$
%需利用边界条件通过配点、最小二乘法等方法得到。
%\end{frame}
\begin{frame}\frametitle{分离特解和齐次解}
将不规则区域椭圆问题的解$u$分解为
\begin{equation}\label{eq:decompose}
u=u_h+u_p
\end{equation}
其中$u_h$和$u_p$分别表示为方程(\ref{eq:original})的齐次解和特解。
特解$u_p$满足：
\begin{equation}\label{eq:particularsolution}
\triangle u=f(x,y),(x,y)\in\Omega_p
\end{equation}
而齐次解$u_h$满足:
\begin{equation}
\label{eq:homogenoussolution}
\begin{cases}
\triangle u_h=0,(x,y)\in\Omega_p\\
u_h(x,y)=g(x,y)-u_p(x,y),(x,y)\in\gamma
\end{cases}
\end{equation}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}\frametitle{求解特解}
\begin{equation}
\label{eq:up}
\triangle u_p=\tilde{f}(x),x\in\Omega
\end{equation}
其中，$\tilde{f}$是$f$周期光滑延拓后的函数。
\end{frame}
\begin{frame}\frametitle{求解齐次解}
\begin{align*}\label{eq:T-Trefftz}
u^*&=\lbrace u_1^*,u_2^*,u_3^*,\dotsm,u_{2m}^*,u_{2m+1}^*,\dotsm,\rbrace\\
&=\lbrace 1,x,y,x^2-y^2,2xy,\dotsm\rbrace
\end{align*}
$u_h$可以由T-Trefftz基函数$u_j^*$ 的线性组合近似得到：
\begin{equation}\label{eq:uhTrefftz}
u_h\approx u_1^*b_1+u_2^*b_2+\dotsm+u_S^*b_S=\bm{u}^*\bm{\beta}
\end{equation}
令$\bm{u}^*=[u_1^*,u_2^*,u_3^*,\dotsm,u_S^* ]$，
$\bm{\beta}=[b_1,b_2,b_3,\dotsm,b_S]^T$ 为未知参数向量。
\begin{equation}\label{eq:disboundarycon}
\bm{u}^*(\bm{x_j})\bm{\beta}=g(\bm{x_j})-u_p(\bm{x_j}), j=1,2,\dotsm,M
\end{equation}
\end{frame}
\section{总结与展望}
\begin{frame}\frametitle{总结}
第二章考虑用带有内强制力的假想区域方法光滑延拓右端项。
对于二维椭圆问题，通过选取合适的参数，这种方法
的计算精度达到$10^{-5}$。
第四章考虑基于右端项的周期光滑延拓方法和Trefftz方法，
将原椭圆问题
的解分解为齐次解和特解。
从计算的结果来看，这种方法具有很好的稳定性。然而计算精
度目前只能达到
$10^{-3}$，这可能是由于右端项函数的周期延拓函数在假想
区域内出现震荡所导致的。
\end{frame}
\begin{frame}\frametitle{展望}
由于以上两种数值算法的计算精度都没有达到谱方法的谱精度，
因此未来的研究
工作将着重放在如何周期光滑延拓函数上。对于带有内强制力的
假想区域方法，
我们考虑如何选取参数，来提高这种方法的计算精度并探索出
其中参数选取的一般规律性。
对于傅里叶谱Trefftz方法，我们考虑如何把右端项函数周期光
滑延拓到一个规则的二维区域中，
来提高这种方法的计算精度。
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\begin{center}
{\huge \emph{谢谢！}}\\
\end{center}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{CJK*}
\end{document}
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