【bzoj1096】[ZJOI2007]仓库建设 斜率优化DP
2016-03-14 19:07
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Description
L公司有N个工厂,由高到底分布在一座山上。如图所示,工厂1在山顶,工厂N在山脚。 由于这座山处于高原内陆地区(干燥少雨),L公司一般把产品直接堆放在露天,以节省费用。突然有一天,L公司的总裁L先生接到气象部门的电话,被告知三天之后将有一场暴雨,于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同,在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件,在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂,其产品应被运往其他的仓库进行储藏,而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N,故产品只能往山下运(即只能运往编号更大的工厂的仓库),当然运送产品也是需要费用的,假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的,可以容下所有的产品。你将得到以下数据: 工厂i距离工厂1的距离Xi(其中X1=0); 工厂i目前已有成品数量Pi; 在工厂i建立仓库的费用Ci; 请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案,使得总的费用(建造费用+运输费用)最小。Input
第一行包含一个整数N,表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。Output
仅包含一个整数,为可以找到最优方案的费用。Sample Input
3 0 5 10 5 3 100 9 6 10
Sample Output
32
HINT
在工厂1和工厂3建立仓库,建立费用为10+10=20,运输费用为(9-5)*3 = 12,总费用32。如果仅在工厂3建立仓库,建立费用为10,运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57,总费用67,不如前者优。【数据规模】
对于100%的数据, N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内,保证中间计算结果不超过64位带符号整数。
Source
原始式子列不出n^2的怎么办……我是不是没救了…求p的前缀和sp。如果所有物品都从0开始运到i,则费用为(sp[i]-p[j])*x[i]
但由于物品的起始点不在0,所以每个物品可以少花费x[i]*p[i]
xp[i]为x[i]*p[i]的前缀和
可得f[i]=min(f[j]+(sp[i]−sp[j])∗x[i]−(xp[i]−xp[j])+c[i]
#include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long LL; const int SZ = 1000010; const int INF = 1000000010; int n; LL f[SZ],sp[SZ],x[SZ],c[SZ],xp[SZ],p[SZ]; double xl(int x,int y) { double gx = f[x] + xp[x]; double gy = f[y] + xp[y]; return (gx - gy) / (double)(sp[x] - sp[y]); } int q[SZ],t = 0,w = 0; int main() { scanf("%d",&n); for(int i = 1;i <= n;i ++) { scanf("%lld%lld%lld",&x[i],&p[i],&c[i]); sp[i] = sp[i - 1] + p[i]; xp[i] = xp[i - 1] + x[i] * p[i]; } for(int i = 1;i <= n;i ++) { while(t < w && xl(q[t],q[t + 1]) < x[i]) t ++; int j = q[t]; f[i] = c[i] + f[j] + (sp[i] - sp[j]) * x[i] - (xp[i] - xp[j]); while(t < w && xl(q[w - 1],q[w]) > xl(q[w],i)) w --; q[++ w] = i; } printf("%lld\n",f ); return 0; }
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