递归与算法分析(一)递归总论

鉴于行业内对递归存在许多误解和疑惑，这里我想结合算法分析，写一个系列关于递归和算法分析的博客。

在这一章，我们要讲的是递归的形式和思维方法，在后面的章节里，我们会讲到时间复杂度和空间复杂度的分析，在那里我们就会看到，并不是什么递归函数都效率低，都会溢出。

概念背得再熟，你也不会写！

请写出这个函数



嗯，是这样写的：

int f(int n){

if(n==0)return 1;

else return 5*n;

}

(这是在逗我吗？）

那如果把函数改成

呢？

那么简单一改，就写成这样：

int f(int n){

if(n==0)return 1;

else return n*f(n-1);

}

这就是我们常说的阶乘了。

之所以要你写上面那个傻逼函数，绝不是在逗你，因为我从几个同学身上发现，他们总不知道“return”要放在哪里。递归的一般形式是这样的：

int f(int a,int b,int c){ //不一定是int

if(___)return ____;

else if(____)return ____;

else if(____)return ____f(__,___,___)____;

else return ____f(__,___,___)____;

}

前面若干句是基础条件，后面若干句是递归调用，每一句都有return，都没有赋值语句，而且在每一个分支，我们一般不需要用大括号框住语句块，因为每个分支都只有一句话。

代换模型

在我们试图理解递归的运行过程的时候，经常用大脑来记忆程序的断点和现场数据，结果才调用了两三次，就把前面的弄乱了，这种理解方式是错误的。

既然脑子记不住，那就笔来写嘛！

以阶乘作为例子，我们来看看阶乘的运行过程。



嗯，这就是递归阶乘的运算过程，以后要用笔来写，不许再用脑子记了！

这个运行过程的高度，也就是这个函数的计算次数，就是它的时间复杂度，

可以看出，大概运算了2n次，也就是T(n)=O(n)。

运行过程的最大宽度，就是它在运算时，需要占用的栈空间的大小，也就是它的空间复杂度，

可以看出，它的空间复杂度S(n)=O(n)。当n比较大时（大概是3万的时候），我们有限的栈空间就装不下了（这里不考虑整数溢出），当然，如果问题规模本身就不大，这个空间复杂度是可以接受的。

下面，我们写另一种形式的阶乘。



用C语言写出来，就是：

int f(int a,int n){

if(n==0)return 1;

else return f(a*n,n-1);

}

我们来看看这个函数的运行过程：



同样，它的时间复杂度T(n)=O(n),

不同的是，它占用的栈空间，不管n是多少，永远是一个单位的空间，所以，它的空间复杂度S(n)=O(1)。不严谨得说就是，它不占用栈空间，当然也不会造成栈溢出。

我们把这种运算过程成为“迭代”，把这种递归形式称为“尾递归”。

在介绍尾递归之前，我先来介绍一下“尾调用”。

尾调用就是这样:

int f(int n){

.

.

.

return g(_);

}

当程序运行完g(_)并得到返回值后，没有对这个返回值做任何运算，而是直接作为f(n)函数的返回值。所以，在调用g(_)之前，不需要保存现场，不需要压栈。

如果g(_)就是f(_)，这个递归就是尾递归。

尾递归的调用需要编译器的支持，支持尾递归的编译器在优化模式下，会识别出这个递归是尾递归，就不需要压栈了。

如果编译器不支持尾递归优化，对于尾递归，它还是会压栈的。

它明明是递归，为什么不需要栈空间呢？

因为我们平常所说的“递归”，是两个不同的概念。

按照我的理解，“递归”，“迭代”，“循环”的关系是这样的：



写法是在具体形式上的表现，而运行过程是算法内在的本质。比如说快速排序在本质上就是一个递归过程，不管你是用递归写还是用循环写

⓪用循环写法来写迭代过程，就是我们最常用的方式

①用循环写法来写递归过程，就是自己压栈，自己出栈

②用递归写法来写迭代过程，例如上面的第2个阶乘

③用递归写法来写递归过程，例如上面的第1个阶乘

②是我最推荐的方式，既不会造成栈溢出（当然要有编译器的支持），也减少了循环带来的思维压力，还能令代码简洁明了。

下面的图标分别显示了用递归，尾递归，循环计算从1加到所花时间（时间单位别管，看比例就行了）（为了不扰乱大家的思绪，这里不严谨得不给出测试环境和具体代码）



可以看出，递归的确会慢许多，而尾递归和循环差异不大。

思维方式与函数构造方法

我们可以用上面的代换模型来理解函数的运行过程，但不必这样，我们可以用数学归纳法的思维理解递归，在理解的同时，我们也做了一次数学证明。

递归的思维方式

用数学归纳法证明递归阶乘算法的正确性：

证：

当n=0时，f(0)=1=0!,显然成立

假设f(n-1)的确等于(n-1)!,那么f(n)=n*f(n-1)=n*(n-1)!=n!

证毕

如何写递归函数？

第1步，先写基础情况

第2步，计算子问题，得出子问题的解，并确信它是正确的（不允许怀疑，也别去思考它为什么正确，它就是正确的）

第3步，用子问题的解构造原问题的解，并返回

简单的说，写递归就是思考怎样用子问题的解构造原问题的解（子问题->原问题）

迭代的思维方式

引入三个词，一个叫“状态”，一个叫“不变量”，一个叫“状态转移方程”。

以迭代阶乘函数为例




f(1,5),f(60,2),f(120,1)都是运行过程中的一个状态

这里的不变量是f(a,k)=n!

例如这里f(1,5),f(60,2),f(120,1)都等于120，在运行过程中永远不变

状态转移方程是，应用状态转移方程，函数就会从一个状态转换到下一个状态，不变量保持不变，问题规模减小

简单得说，写迭代函数就是要想办法把问题规模减小（原问题->缩小规模）

只要每一步能把问题规模减小，这个算法就是正确的

在后面的章节，我们将会用更多例子解释这章的内容

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