拉格朗日乘数法解带约束的极值问题

拉格朗日乘数法是用来求条件极值的，极值问题有两类，其一，求函数在给定区间上的极值，对自变量

没有其它要求，这种极值称为无条件极值。其二，对自变量有一些附加的约束条件限制下的极值，称为

条件极值。例如给定椭球

 

     


 

求这个椭球的内接长方体的最大体积。这个问题实际上就是条件极值问题，即在条件

 

     


 

下，求

的最大值。

 

当然这个问题实际可以先根据条件消去

，然后带入转化为无条件极值问题来处理。但是有时候这样做

很困难，甚至是做不到的，这时候就需要用拉格朗日乘数法了。如下描述

 

求函数

在满足

下的条件极值，可以转化为函数


的无条件极值问题。如果

是函数

的驻点，则

就是条件极值的嫌疑点。

 

回到上面的题目，通过拉格朗日乘数法将问题转化为

 

     


 

对

求偏导得到

 

     


 

联立前面三个方程得到

和

，带入第四个方程解之

 

      


 

带入解得最大体积为

 

      


 

拉格朗日乘数法对一般多元函数在多个附加条件下的条件极值问题也适用。例如

 

题目：求旋转抛物面

与平面

的交线上到坐标原点最近的点与最远的点。

 

分析：设

，令

的所有

     偏导数为零，得到

                    


 

     解得两个嫌疑点分别为

 

     


 

           由于

 

            


 

     所以，与原点最近的点是

，最远的点是

。

 

 

题目：求离散分布的最大熵。

 

分析：因为离散分布的熵表示如下

 

     


 

     而约束条件为

 

     


 

     要求函数

的最大值，根据拉格朗日乘数法，设

 

     


 

     对所有的

求偏导数，得到

 

     


 

     计算出这

个等式的微分，得到

 

     


 

     这说明所有的

都相等，最终解得

 

     


 

     因此，使用均匀分布可得到最大熵的值。