奇妙的数列

题意

给出数列BB，数列AA的生成方式为an=n−k+1a_n=n-k+1，其中kk为最小的正整数使得数列BB中，对于所有k≤i≤nk \le i\le n的ii均满足bk≤bi≤bnb_k\le b_i \le b_n。求AA中的最大值。

数列BB的长度N≤107N\le 10^7

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分析

题目就是让我们找到最长的一段区间，使得区间左端点为区间最小值，区间右端点为区间最大值。

O(n2)O(n^2)或O(nlog2n)O(nlog_2{n})的算法很好想，但是此复杂度难以通过本题。我们要想一个O(n)O(n)的方法。我们可以发现，若一个位置要作为右端点，它的最优合法左端点一定是 它 与 它前面第一个大于它的数 区间中的最小值位置（相同取最左）。那么我们可以用一个单调栈来记录从左往右单调下降的序列，那么我们就能知道一个数左边第一个大于它的数的位置了，现在的问题就变成了如何求这段区间内的最小值。

我们可以维护每个位置的最小值位置，那么当我们做到当前位置，将栈顶小于它的元素弹出栈时，我们可以用该元素的最小值更新一下当前位置的最小值。这样做显然是正确的。那我们就能用O(n)O(n)的复杂度解决原题目了。

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 1e7 + 10;
int b
, st
, f
;
int n, top, tot;

int read()
{
char ch;
int re = 0;
for (ch = getchar(); ch > '9' || ch < '0'; ch = getchar());
for (; ch <= '9' && ch >= '0'; re = re * 10 + ch - 48, ch = getchar());
return re;
}

void init()
{
n = read();
for (int i = 1; i <= n; ++ i)
b[i] = read();
}

void solve()
{
top = 0;
int ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++ i)
{
f[i] = i;
while (top && b[st[top]] <= b[i])
{
if (b[f[st[top]]] <= b[f[i]]) f[i] = f[st[top]];
-- top;
}
st[++ top] = i;
ans = max(ans, i - f[i] + 1);
}
printf("%d", ans);
}

int main()
{
init();
solve();
}