丑数
2016-03-10 20:35
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题目描述:
把只包含因子2、3和5的数称作丑数(Ugly Number)。例如6、8都是丑数,但14不是,因为它包含因子7。 习惯上我们把1当做是第一个丑数。求按从小到大的顺序的第N个丑数
如果一个数能够被2整除,那么让他继续除以2;
如果一个数能够被3整除,那么让他继续除以3;
如果一个数能够被5整除,那么让他继续除以5;
如果最后这个数变为1,那么这个数就是丑数,否则不是
代码:
运行结果:
根据丑数的定义,我们可以知道丑数可以由另外一个丑数乘以2,3或者5得到。因此我们创建一个数组,里面的数字是排好序的丑数,每一个丑数都是前面的丑数乘以2,3或者5得到的。这种思路的关键在于怎样确保数组里面的数字是排序的。
假设丑数数组中已经有若干个排好序的丑数,比如1,2,3,4,5。我们把当前丑数数组中的最大数记为M,这里M=5。我们接下来分析如何生成下一个丑数。根据前面的介绍,我们知道这个丑数肯定是前面丑数数组中的数字乘以2,3,5得到的。所以我们首先考虑把已有的每个丑数乘以2,在乘以2的时候,能够得到若干个小于或者等于M的结果。由于是按照顺序生成的,小于或者等于M的数肯定已经在丑数数组当中了,我们不需要再次考虑;当然还会得到若干大于M的结果,但是我们只需要第一个大于M的结果,因为我们希望丑数是按顺序排列的,所以其他更大的结果可以以后考虑。我们把得到的第一个乘以2以后得到的大于M的结果记为M2。同样,我们把已有的每一个丑数乘以3和5,能得到第一个大于M的结果M3和M5。那么M后面的那一个丑数应该是M2,M3和M5当中的最小值:Min(M2,M3,M5)。比如将丑数数组中的数字按从小到大乘以2,直到得到第一个大于M的数为止,那么应该是2*2=4<M,3*2=6>M,所以M2=6。同理,M3=6,M5=10。所以下一个丑数应该是6。
前面分析的时候,提到把已有的每个丑数分别都乘以2,3和5。事实上这不是必须的,因为已有的丑数是按顺序存放在数组中的,对乘以2而言,肯定存在某一个丑数T2,排在她之前的每一个丑数乘以2得到的结果都会小于等于(<=)已有最大的丑数,在它之后的每一个丑数乘以2得到的结果都会大于已有的最大丑数。因此我们只需要记下这个丑数的位置,同时每次生成新的丑数的时候去更新这个T2。对于乘以3和5,同样存在这样的T3和T5。
代码:
转载自:/article/4631504.html
把只包含因子2、3和5的数称作丑数(Ugly Number)。例如6、8都是丑数,但14不是,因为它包含因子7。 习惯上我们把1当做是第一个丑数。求按从小到大的顺序的第N个丑数
方法一:遍历法
使用遍历法求第k个丑数,从1开始遍历,如果是丑数则count++,直到count==k为止。那么如何判断丑数呢?根据丑数的定义,丑数只有2,3,5这三个因子,那么我们就拿数字除以这三个因子。具体算法如下:如果一个数能够被2整除,那么让他继续除以2;
如果一个数能够被3整除,那么让他继续除以3;
如果一个数能够被5整除,那么让他继续除以5;
如果最后这个数变为1,那么这个数就是丑数,否则不是
代码:
#include <iostream> #include <time.h> using namespace std; bool IsUgly(int number) { while(number % 2 == 0) number /= 2; while(number % 3 == 0) number /= 3; while(number % 5 == 0) number /= 5; return (number==1) ? true : false; } int GetUglyNumber(int index) { if(index<=0) return 0; int number = 0; int uglyFound = 0; while(uglyFound < index) { ++number; if(IsUgly(number)) ++uglyFound; } return number; } int main() { int k=1500; clock_t start, end;//用于统计程序运行时间 start = clock(); cout<<GetUglyNumber(k)<<endl; end = clock(); cout<<"Run time: "<<(double)(end - start) / CLOCKS_PER_SEC<<"S"<<endl;//要记录分钟的话,上面的程序改为(double)(end - start) / CLOCKS_PER_SEC/60即可; system("pause"); return 0;
}
运行结果:
方法二:创建丑数数组,用空间还时间
如前所述,我们发现采用遍历法求第K个丑数的效率十分低下,我们在前面求第1500个丑数花去了33秒的时间,这还是在我I7 3770K的电脑上运行的。所以我们考虑有没有一种更加高效的方法。在面试题9:斐波那契数列中我们使用了一种“用空间还时间”的方法来提高求斐波那契数列的速度。这种编程思想也可以应用在这道题目当中,我们为所有求出的丑数创建数组,不在非丑数上面浪费时间。根据丑数的定义,我们可以知道丑数可以由另外一个丑数乘以2,3或者5得到。因此我们创建一个数组,里面的数字是排好序的丑数,每一个丑数都是前面的丑数乘以2,3或者5得到的。这种思路的关键在于怎样确保数组里面的数字是排序的。
假设丑数数组中已经有若干个排好序的丑数,比如1,2,3,4,5。我们把当前丑数数组中的最大数记为M,这里M=5。我们接下来分析如何生成下一个丑数。根据前面的介绍,我们知道这个丑数肯定是前面丑数数组中的数字乘以2,3,5得到的。所以我们首先考虑把已有的每个丑数乘以2,在乘以2的时候,能够得到若干个小于或者等于M的结果。由于是按照顺序生成的,小于或者等于M的数肯定已经在丑数数组当中了,我们不需要再次考虑;当然还会得到若干大于M的结果,但是我们只需要第一个大于M的结果,因为我们希望丑数是按顺序排列的,所以其他更大的结果可以以后考虑。我们把得到的第一个乘以2以后得到的大于M的结果记为M2。同样,我们把已有的每一个丑数乘以3和5,能得到第一个大于M的结果M3和M5。那么M后面的那一个丑数应该是M2,M3和M5当中的最小值:Min(M2,M3,M5)。比如将丑数数组中的数字按从小到大乘以2,直到得到第一个大于M的数为止,那么应该是2*2=4<M,3*2=6>M,所以M2=6。同理,M3=6,M5=10。所以下一个丑数应该是6。
前面分析的时候,提到把已有的每个丑数分别都乘以2,3和5。事实上这不是必须的,因为已有的丑数是按顺序存放在数组中的,对乘以2而言,肯定存在某一个丑数T2,排在她之前的每一个丑数乘以2得到的结果都会小于等于(<=)已有最大的丑数,在它之后的每一个丑数乘以2得到的结果都会大于已有的最大丑数。因此我们只需要记下这个丑数的位置,同时每次生成新的丑数的时候去更新这个T2。对于乘以3和5,同样存在这样的T3和T5。
代码:
<pre name="code" class="cpp"> #include <iostream> #include <time.h> using namespace std; //求M2,M3,M5的最小值 int Min(int number1, int number2, int number3) { int min = (number1 < number2) ? number1 : number2; min = (min < number3) ? min : number3; return min; } //获取第k个丑数,假定1为第一个丑数 int GetUglyNumber(int index) { //如果index<=0表明输入有误,直接返回0 if(index<=0) return 0; //定义丑数数组,用于记录排序的丑数 int *pUglyNumbers = new int[index]; //第一个丑数为1 pUglyNumbers[0]=1; //第一个丑数的坐标是0,下一个丑数的坐标从1开始 int nextUglyIndex = 1; //定义三个指向丑数数组的指针,用它们来标识从数组中的哪一个数开始计算M2,M3和M5,开始都是丑数数组的首地址。 int *T1 = pUglyNumbers; int *T2 = pUglyNumbers; int *T3 = pUglyNumbers; while(nextUglyIndex < index) { int min = Min(*T1 * 2, *T2 * 3, *T3 * 5); //M2=*T2 * 2, M3=*T3 * 3, M5=*T5 * 5 pUglyNumbers[nextUglyIndex] = min; //每次生成新的丑数的时候,去更新T2,T3和T5. while(*T1 * 2 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex]) ++T1; while(*T2 * 3 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex]) ++T2; while(*T3 * 5 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex]) ++T3; ++nextUglyIndex; } int ugly = pUglyNumbers[nextUglyIndex - 1];//因为丑数有序排列,所以丑数数组中的最后一个丑数就是我们所求的第index个丑数。 delete[] pUglyNumbers; return ugly; } int main() { int k=1500; clock_t start, end;//用于统计程序运行时间 start = clock(); cout<<GetUglyNumber(k)<<endl; end = clock(); cout<<"Run time: "<<(double)(end - start) / CLOCKS_PER_SEC<<"S"<<endl;//要记录分钟的话,上面的程序改为(double)(end - start) / CLOCKS_PER_SEC/60即可; system("pause"); return 0; }
转载自:/article/4631504.html
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