3329: Xorequ 数位DP+矩阵乘法

数位DP好虚啊。。最近练练。

首先我们要对题意进行合理的转化：

x xor 3x=2x就等价于x xor 2x=3x，且我们知道x+2x=3x，即x与x<<1在相加时不能有进位，所以有x and (x<<1)=0，那么就转化为区间内满足这个条件的数量。

用fi表示二进制表示下有i位，且最高位为0的个数，用gi表示二进制表示下有i位，且最高位为1的个数。

那么转移显然：fi=fi−1+gi−1,gi=fi−1

先看第二问，第二问其实就是要求fn，因为fn表示的是[0,2n)的答案个数，而0不是正整数，2n是合法答案，所以总共还是有fn个，打表可以发现fn是Fibonacci数列的第n+2项，可以直接矩阵乘法求。

再看第一问，这是一个数位DP。

加入N=22，将N+1表示成二进制10111，并将答案划分成几段：

[0,01111]，答案为f4。

[10000,10011]，答案为f2。

[10100,10101],答案为f1。

[10110,10111]，由于有相邻的1存在，后面的答案都一定不合法，计算结束。

最后要减1，因为0是不合法的。

数位DP一直很弱，一是边界问题，二是计数问题，还要多加练习啊。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
#define MOD 1000000007
using namespace std;
ll f[70],g[70];
struct Matrix
{
ll a[2][2];
Matrix()
{
memset(a,0,sizeof(a));
}
friend Matrix operator*(Matrix a,Matrix b)
{
Matrix ans;
for (int i=0;i<2;i++)
for (int j=0;j<2;j++)
for (int k=0;k<2;k++)
(ans.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j])%=MOD;
return ans;
}
friend Matrix operator^(Matrix a,ll b)
{
Matrix ans;
for (int i=0;i<2;i++) ans.a[i][i]=1;
for (;b;b>>=1,a=a*a)
if (b&1) ans=ans*a;
return ans;
}
};
inline ll read()
{
ll a=0,f=1; char c=getchar();
while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1; c=getchar();}
while (c>='0'&&c<='9') {a=a*10+c-'0'; c=getchar();}
return a*f;
}
inline ll query_1(ll x)
{
int i,flag=0;
ll ans=0;
for (i=0;1ll<<i<=x;i++);
for (;i;i--)
if ((1ll<<i-1)&x)
{
ans+=f[i];
if (flag) return ans-1;
flag=1;
}
else flag=0;
return ans-1;
}
inline ll query_2(ll x)
{
Matrix A;
A.a[0][0]=0; A.a[0][1]=A.a[1][0]=A.a[1][1]=1;
A=A^x;
return (A.a[0][1]+A.a[1][1])%MOD;
}
int main()
{
int testcase=read();
f[0]=1;
for (int i=1;i<64;i++)
f[i]=f[i-1]+g[i-1],g[i]=f[i-1];
while (testcase--)
{
ll n=read();
printf("%lld\n%lld\n",query_1(n+1),query_2(n));
}
return 0;
}